二元二次不定方程解的性质问题

Bardo

假如有：aX^2+bXY+cY^2+dX+eY+f=0
其中a,b,c,d,e,f均为整数。
并且，a,b,c不同时为0。
并且，我们知道，此方程肯定有一组正整数解。（整数解，如果有，则必定不是一组，但是，其余的解组可能有负数）
现在请问，在不解方程的情况下：
1、X,Y的奇偶能否知道？
2、X，Y哪一个大，哪一个小，能否知道？
说明：这个问题比较难，因为，我们要了解的是多数解组中的不确定的那一组。第二点，则是，不能通过解方程解决。第三点是，一部分方程，解的奇偶是可以用特殊方法判断出来的，但，有些方程却不能。所以，判断奇偶，这里需要寻找的是适合所有一般方程的方法。
盼高手出招。

Bardo

顶一下。请高手出招

Bardo

看样子，没有人了解这个问题，其实，……

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下面引用由Bardo在 2011/04/28 10:26pm 发表的内容：
假如有：aX^2+bXY+cY^2+dX+eY+f=0
其中a,b,c,d,e,f均为整数。
并且，a,b,c不同时为0。
并且，我们知道，此方程肯定有一组正整数解。（整数解，如果有，则必定不是一组，但是，其余的解组可能有负数）
...

若此方程仅X.Y为未知数，
若a=A^2+C^2  b=2AB  c=B^2+E^2  d=2CD  e=2EF  f=D^2+F^2+G  G>0
则此方程肯定无解.

Bardo

[这个贴子最后由Bardo在 2011/06/19 00:08am 第 1 次编辑] 非常感谢楼上。一个月以后，有如此的回复。 我来补充一下，看是否可以： 设有二元二次不定方程：ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f 可知，当f大于0.x,y有同时为正整数的解。 利用 x=(u+kv) y=(u+v)代入原方程。 我们可以得到另一个二元二次不定方程。 此时，反过来，我们设，u,v均为1。求出k 再以： x=(u+v) y=(u+kv)代入原方程。 我们又可以得到另一个二元二次不定方程。 此时，反过来，我们设，u,v均为1。求出k 以上两次求解时，我们均以使用算术根。而不使用有理根。 如果第一次k>0说明，x>y,否则，xy,否则，x

Bardo

对于奇偶的判定，只要未知数系数中，有两项系数为1，且不是同一未知数的平方项与一次项，这时可以用试算法判断其奇偶。
方法时，我们只要用1，2，这两个值作为x,y的值，代入方程，试算，如果方程左边的奇偶与右边一致，且这四种组合只有一次是一致的，那么，我们可以确定其x,y的奇偶。

Bardo

实际上，现在的问题是，如何针对任一形式的一般方程，是否有通用的方法。

bardo

x,y的大小，实际即是O点到双曲线整点向量的方向的问题。