经典代数等式

ccmmjj

在实数域内证明，它一定成立吗？

ccmmjj

有个视频说美国大学生都做不来。

shuxuestar

通过演算，等式不一定成立，此形式类似三次方程的第一个实数根形式。

形如：x^3+px+q=0; 其一实数根为：

x1=(3)√ (-q/2+√((q/2)^2+(p/3)^3))+(3)√ (-q/2-√((q/2)^2+(p/3)^3));


其中：令a=-q/2；q=-2a;

      代入    ((a+1)/3)√((8a-1)/3)=√((q/2)^2+(p/3)^3));

解得：p^3=8a^3-12a^2+6a-1;（1）

若x1=1；x^3+px+q=0变为1+p+q=0：p=2a-1；

p^3=(2a-1)^3=8a^3-12a^2+6a-1=（1）。

正确，

只有判别式：(q/2)^2+(p/3)^3)>0,才有唯一实数根使等式总成立。

既(p/3)^3)>-(q/2)^2;  p^3>-27q^2/4; p若为绝对值小的负数，判别式不一定>0,

有两个或三个不等实数根，等式p=2a-1不一定成立。

等式不一定等于1。

shuxuestar

简单一些叙述：此式与x^3+px+q=0的一个实数根形式相同，

若等式=1；既x=1；x^3+px+q=0 变为1+p+q=0：

1+p+q=0的一个实数根形式与等式左边相同。

所以确定判别式的情况下，此根等式=1.

xfhaoym

我看的是:

任在深

      a+1      8a-1                         a+1     8a-1
[a+-------(---------)^1/2]^1/3+[a- -------(--------)^1/2]^1/3=1
        3          3                               3        3
此题看似有点难度，如果把它当成填空题就简单了。

解： 令a=1/2，代入上式得：
                            1/2+1    8/2-1                                1/2+1    8/2-1
        左边=【1/2+----------(--------)^1/2】^1/3+【1/2- ---------(---------)^1/2】^1/3
                               3           3                                       3          3
              =[1/2+1/2(3/3)^1/2]^1/3+[1/2-1/2(3/3)^1/2]^1/3
              =(1/2+1/2)^1/3-(1/2-1/2)^1/3
              =1-0
              =1
       右边=1
       左边=右边
       当a=1/2时， 此题正确。
           a=13/8，
           a=28/8，
           *   *  *
           *   *  *
           *   *  *
      即  (8a-1)/3=b^2都正确！
      所以此题有无穷多组解！！
                      证毕。
     

谢芝灵

任在深 发表于 2017-4-21 11:38
a+1      8a-1                         a+1     8a-1
[a+-------(---------)^1/2]^1/3+[a- ------- ...

对，a=1/2  就是它的实数根  之一。

drc2000回来

写的有些凌乱。
习惯性思维先设uv。。
然而做下去的时候，发现问题若是先从红色字体开始叙述则更

drc2000回来

若从红色字体开始叙述似乎将更清晰
习惯性思维先uv。。。

drc2000回来

不好意思，重复发帖子了。
楼主的问题，本质上是卡当的解三次方程的方法。
历史很悠久了，有人不会做也是可以理解的