点与线段长度的辩证概念

jzkyllcjl

笔者认为：希尔伯特《几何基础》没有给出恰当的点、平行线概念；实践是数学理论取之不尽的源泉。对测量与绘图的实际情况研究之后，笔者提出了如下的点的辩证概念。
定义4，只有位置而没有大小的点，叫做理想点；理想点具有无法被点出的性质；能画出的表示理想点位置的有大小的点叫做近似点；随着误差界序列  逐渐减小的近似点序列叫做全能近似点列；全能近似点列的极限是理想点[6]。
这个定义给出了无法点出的理想点与其能点出的近似点之间的相互依存的对立统一关系。在测量工作中，必须选择一个度量线段长度的度量单位，例如米（公尺）；米尺的端点与米尺中的十分之一点，都可以说是没有大小的理想点，但在具体测量工作中，必须使用有大小的符号把这种理想点标志出来，这种有大小的符号（如米尺上的刻度线，移动米尺时，表示米尺端点的符号）就是测量工作中必须使用的近似点。定义4中的点的辩证关系使线段具有了可测性质。虽然线段长度的绝对准测量方法是不存在的。但根据点的辩证概念，近似点是可以点出的点，这样一来就可以在近似方法下进行线段长度的测量工作了；如果测量精度不够，还可以在‘近似点大小可以逐渐减小的方法下提高测量的精确度；但线段长度的绝对准测量方法是不存在的，这就是数学理论中的测不准原理。根据这个原理，笔者在文献[4]中提出了如下的度量假设与对立统一性质的线段长度定义。
度量假设：随着度量工具、度量方法的改进，对于以0为极限的误差界序列 中的任意小误差界ε，都可以在足够准的测量工作之后，得到满足这个误差界要求的、线段长度的近似表达数字 ，而且这个数字是有尽小数（有理数）。
定义5（线段长度的辩证概念）：线段长度可以在某个误差界要求下进行足够准近似测量。 这个近似测量的结果可以用有尽小数（有理数） 表示，这个有理数叫做线段的针对这个误差界的近似长度；在上述度量假设的误差界序列下，可以得到线段长度的对于误差界序列 近似长度数列 ，这个近似长度数列的极限是线段的绝对准长度，它是一个理想实数（理想实数的进一步研究参看下文）。
在这里还需指出：由于画出的刻痕线有粗细，点出的点有大小，现行几何学中谈到的“尺规二等分线段与二等分角”的问题，也不是绝对准确的；只有在忽略这种操作中画出的线的粗细与点的大小时，才可以说：这种二等分是准确的。同理，利用作平行线等分线段的方法也是近似的。现行几何学中“合同线段是等长的”的论述也具有理想性，事实上，我们无法判断两个合同线段之间绝对准等长。总起来说：线段长度的研究既需要有绝对准的理想又需要有尊重现实的近似研究方法。需要尊重并使用理想与现实、绝对准与近似之间具有相互依存的对立统一关系。理想是需要追求的，但达不到的事实也是需要尊重的。在测不准原理下，使用有理数及其运算法则表示现实数量大小时，常常需要进行误差分析；笔者称能绝对准表示现实数量大小的有理数为理想有理数，这时不需要进行误差分析，但在一般情况下，人们无法判断使用的表达数字是绝对准的。
至于希尔伯特的“直线上任意两点之间存在无限多点的定理”，根据前边对无穷集合的讨论，推导这个定理的无穷次操作无法完成；这个定理不成立。这个定理中的无穷多点只能是一种想象性质的、不能构成理想事物；具体的讲：这个定理的证明应当改写为：根据巴士公理，第一步得线段AC内有一个内点；第二步得线段AC内有3个内点，第三步得线段AC内有7个内点，……，这个无穷序列的广义极限是不可达到的+∞多个内点，因此这个定理中的无穷多点是不可达到的极限性质的理想事物。笔者批判了ZFC 形式公理集合轮，又批判了希尔伯特的《几何基础》。为此有人反对我，他说：“能够谈论真理性的数学只能是形式系统，这导致哲学语境下的数学只能是某些形式系统”、“数学正是违背了实践才对实践有用。”、“数学理论指导实践，实践不能改革数学”，但是结合实际、认真分析一下，可以发现：这种反对意见是形式主义的、不能解决实际问题的错误意见；笔者叙述的线段长度测不准原理与近似测量方法，不仅在量子力学中需要，在身高、房间长、宽、桌子高度、宇宙飞船制作中都是实际应用着的，如果按照现行实数理论中“任何小区间上都有无穷多无理数的理论”，不仅绝对准的度量身高无法量出来，还需要研究身高是不是无理数的问题，这样，身高的问题就无法解决了。有人提出：牙签长度是不是无理数的问题，笔者的回答是：只要测出它的足够准近似长度，并使用有尽小数表示这个长度就行了，不需讨论它是不是无理数的问题。我的线段理想长度依赖于近似长度的观点还是实数理轮与数学分析能够被应用的依据。
关于点与线段的关系，文献[7]中讲到：“位于直线上任何两点之间，有无限多个另外的点，这些点的集合，叫做线段”[7]。这个论述有以下三个无法回答的问题：第一，无穷多究竟是多少？第二，无穷多个没有大小的点如何组成有长度的线段？第三，芝诺的‘飞矢不动’悖论如何解决？现在，按照上述理想与现实对立统一的点的辩证概念，我们就可以说：线段不是由理想点构成的；不是理想点的集合（关于数轴的概念参看下文）；线段是连接有大小近似点构成的，例如长度为1的线段可以是十个长度为0.1近似点构成的，也可以是1000个长度为0.001的近似点构成的，也可以是……。至于芝诺的这个悖论，由于“有长度的时段不是由没有长度理想瞬时构成，虽然可以说每一个理想瞬时‘飞矢’是不动的；但在任何有长度的近似瞬时上它总是移动了一个距离”。这样一来，不仅消除了这个悖论；而且说明：“无论没有长度的理想瞬时”上的速度是多少对运动都无影响；讨论没有长度的理想瞬时的速度是无有实际意义的。