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本帖最后由 luyuanhong 于 2017-5-1 21:02 编辑
题 已知 a(1)=1 ,a(2)=2 ,a(3)=4 ,a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3) ,求 a(12) 。
解 对应于递推公式 a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3) ,有特征方程 x^3=x^2+x+1 。
解特征方程,可以求得三个特征根(精确表达式太繁,下面只写出近似值):
x1 = 1.839286755 ,
x2 = -0.4196433776 + 0.6062907292 i ,
x3 = -0.4196433776 - 0.6062907292 i 。
a(n) 可表示为 a(n) = A x1^n + B x2^n + C x3^n 。
再根据初始条件,可列出方程组:
A x1 + B x2 + C x3 = a(1) = 1 ,
A x1^2 + B x2^2 + C x3^2 = a(2) = 2 ,
A x1^3 + B x2^3 + C x3^3 = a(3) = 4 。
可解得(精确表达式太繁,下面只写出近似值):
A = 0.6184199223 ,
B = 0.1907900388 - 0.01870058232 i ,
C = 0.1907900388 + 0.01870058232 i 。
在通项公式 a(n) = A x1^n + B x2^n + C x3^n ,n=1,2,3,… 中,
令 n=1 ,可得 a(1) = 1 ;
令 n=2 ,可得 a(2) = 2 ;
令 n=3 ,可得 a(3) = 4 ;
令 n=12 ,可得 a(12) = 927 ;
令 n=30 ,可得 a(30) = 53798080 ;
令 n=200 ,可得 a(200) = 5.262258×10^52 。 |
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