过动点 P(a,b) 可对函数 f(x)=-x^3+2x+3 的图像作三条切线，求 a,b 的关系式

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

shuxuestar

f(x)'=-3x^2+2;

b-y/a-x=2-3x^2;

b-y=(a-x)(2-3x^2);

b+x^3-2x-3=2a-3ax^2-2x+3x^3

-2x^3+3ax^2-3-2a+b=0;

据题，方程应有三个不等实数根，

判别式<0; 符合题所求关系。

luyuanhong

谢谢楼上 shuxuestar 的解答。下面是此题的详细解答过程：

luyuanhong

中国上海市

能把a、b的关系用图像表示出来吗

luyuanhong

中国上海市 发表于 2017-5-8 14:06
能把a、b的关系用图像表示出来吗

第 2 楼中的图就已经把 a,b 的关系表示出来了。

图中的一条红色三次曲线和一条蓝色直线将平面分成四个区域。

当 P(a,b) 落在左侧或右侧区域中时，通过 P 点可以向曲线作三条不同的切线。

当 P(a,b) 落在上侧或下侧区域中时，通过 P 点只能向曲线作一条切线。