x,y,z 都是不等于 1 的整数，已知 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=3 ，求 x^2+y^2+z^2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

x,y,z 為整數  x+y+z=3, x^3+y^3+z^3=3,  x,y,z 皆不等於1,  求 x^2+y^2+z^2=?

luyucheng1

4，4，-5           57

谢芝灵

解:
将  x+y+z=3代入 x^3+y^3+z^3=3 中,消除z
得:8/(x+y)-9+3(x+y)-xy=0,        (1)
由于(1)都是整数,故 8/(x+y)必为整数.
由 8/(x+y)为整数得 (x+y)=±1,±2,±4,±8  四种可能性.
分别代(1)式解得 整数解如下:
x,y,z=(5,-4,2);(-5,4,4);(1,1,1);(-1,-1,5);(4,4,-5);(-4,-4,11)
再代入 x^3+y^3+z^3=3 验算得-5,4,4);(1,1,1)正确.
又已知不讨论 (1,1,1),得唯一解 (-5,4,4)
得 x^2+y^2+z^2=57

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。