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余元希 等学者的《初等代数研究》上册75—100页 介绍了现行的无尽小数 的理论。其中的无尽小数定义是: “仿照正整数的计数法，通常把
a1/10+a2/10^2+……+an/10^n+…… （1）
写成十进小数
0.a1a2……an…… （2）
如果对任一个 ai ,总有大于i的正整数k存在，使ak 不等于0，就说（2）是无尽小数，否则，叫做有尽小数）”
你根据这个无尽小数的定义，首先.把 0.333……写作 无穷级数的 3/10+3/10^2+……+3/10^n+……，然后根据无穷级数理论，写出这个无穷级数的前n项和无穷数列 0.3，0.33，……0.333^3、……，再后根据数列极限理论，研究这个无穷数列的极限，得出极限后还需根据无穷级数理论中的表达式等许多步骤才得到：，等式 0.333…… =1/3 。
我的无尽小数定义是：定义9（正无尽小数的应有定义）：若无穷数列 {An}满足条件：A0是个非负整数，A1=A0+a1/10, A2=A1+a2/10^2, A3=A2+a3/10^3, ……，这里 所有 ai 都是小于10的非负整数，且对于任意 i都有正整数 k>i存在，ak不等于0，将这样的无穷数列 简记为：A0.a1a2a3……： 并称它为正无尽小数。若无尽小数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重负出现，这样的无尽小数叫做无尽循环小数，否则叫做无尽不循环小数。
使用我的定义，不需要先把它写成无穷项和，不需要根据这个无穷项和的表达式计算前n项和序列，直接就得到无穷数列 0.3，0.33，……0.333^3、……，应用数列极限理论立即就可以得到 无尽小数的极限表达式 0.333……→1/3 了，不需要再使用级数理论中规定的无穷级数和表达式。
两种运算比较起来，我的好处是：第一，省去了写出无穷级数与 计算前n项和序列的工作，就得出无穷数列 0.3，0.33，……0.333^3、……了，第二，我的结果表明：0.333……是永远写不到底的事实；消除了虚假的等式0.333…… =1/3 ；得到了真实的表达式0.333……→1/3。 第三，我的计算结果表明数列0.3，0.33，……0.333^3、……中的数都是其极限的近似值，而且越来越准确，这种近似值是能够被写出的、是有用的。
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发表于 2017-5-11 15:31
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