【分享】求最小‘连发’数 8…88 使之为 169 的倍数

drc2000 · 发表于 2011-5-27 23:02

似乎答案是78个8....

elimqiu · 发表于 2011-5-28 00:24

对！用数论的方法看看如何导出这个结果，如何推广这个结果会很有意思。

drc2000 · 发表于 2011-5-28 00:33

下面引用由elimqiu在 2011/05/27 05:24pm 发表的内容：
对！用数论的方法看看如何导出这个结果，如何推广这个结果会很有意思。

我只会用多项式方法去解,不懂数论......

elimqiu · 发表于 2011-5-28 00:45

首先 169 = 13^2 是素数的平方，与 8 互素
我们可以把问题转化为：
给定奇素数p，求最小“连衣(1)” 正整数 1…11 使得它为 p^2 的倍数
.........

drc2000 · 发表于 2011-5-28 00:52

我的思路:
88...8=8(10^n-1)/9
若169|88...8
则169|10^n-1
换言之10^n÷169余数为1
....

elimqiu · 发表于 2011-5-28 02:29

好思路。现在的问题是：
如果 (m,9) = 1, m 满足什么条件就总有 k 使得 m | (10^k -1) ?

drc2000 · 发表于 2011-5-28 10:39

下面引用由elimqiu在 2011/05/27 07:29pm 发表的内容：
好思路。现在的问题是：
如果 (m,9) = 1, m 满足什么条件就总有 k 使得 m | (10^k -1) ?

...(m,9) = 1...
.
是否为(m,10)=1 ?[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在时添加 -=-=-=-=-
　　求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立.
而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到.

elimqiu · 发表于 2011-5-28 13:19

如果没有 (m,9) = 1, 从 m | (10^k -1) 就推不出 m | (10^k -1)/9，而后者才是我们真正需要的。

正理 · 发表于 2011-5-28 18:02

下面引用由drc2000在 2011/05/28 00:52am 发表的内容：
我的思路:
88...8=8(10^n-1)/9
若169|88...8
则169|10^n-1
...

12*13|k时，10^k=1(mod13^2)

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