已知 7 个观测数据的平均值为 9 ，中位数为 12 ，求它们的极差的最大值和最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

7筆資料  算術平均數  9   中位數 12     求全距最大和最小值

luyuanhong

题  已知 7 个观测数据的平均值为 9 ，中位数为 12 ，求它们的极差的最大值和最小值。

解  因为 7 个数的平均值为 9 ，所以 7 个数的总和为 9×7=63 。

    因为 7 个数的中位数为 12 ，所以必定有 3 个数小于等于 12 ，有 3 个数大于等于 12 。

    要使得极差（全距）取到最小值，就要使得最大的数尽量小，最小的数尽量大。

    要使得最大的数尽量小，最极端的情况，就是使得 3 个大于等于 12 的数正好等于 12 。

    这时，连同中位数一起，共有 4 个数等于 12 ，总和为 48 ，其余 3 个数总和为 63-48=15 。

    要使得最小的数尽量大，3 个小于等于 12 、总和为 15 的数，不能拉开距离，必须都等于 5 。

     这时，7 个数为 5，5，5，12，12，12，12 ，极差（全距）取到最小值，为 12-5=7 。

    要使得极差（全距）取到最大值，就要使得最大的数尽量大，最小的数尽量小。

    如果题目中的数据没有非负的限制，允许数据取到负值，则极差可以达到任意大。

    例如，设 7 个数为 -10000，12，12，12，12，12 ，10003 ，7 个数的总和为 63 ，平均值

为 9 ，中位数为 12 ，符合题目要求，而极差可以达到 10003-(-10000)=20003 。

    如果题目中的数据有非负的限制，不允许数据取到负值。则为了使得极差尽量大，小于等于 12

的 3 个数要尽量小，只能让 3 个数都取到 0 。这时，大于等于 12 的 3 个数的总和为 63-12=51 。

为了要使得最大值尽量大，只有让 3 个数中的两个数取为 12 ，让最大的一个数等于 51-12-12=27 。

    这时，7 个数为 0，0，0，12，12，12，27 ，极差（全距）取到最大值，为 27-0=27 。