已知向量 a,b,c，对任何向量 u 内积 u·a，u·b，u·c 不全正全负，证明有 pa+qb+rc=0

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

luyuanhong

原题有错，结论不成立。但如果将原题稍加修改，则可以证明如下：

pgcci7339

陆老師您好，關於您修改原題後的證明，我有幾個問題想請教：

1. u 為任意向量，但你的證明中，令u=向量OP，向量OP並不是任意的?

2. 您證明過程中，有寫到 a，b，c與u的內積皆為正，因此與題目假設矛盾
    這樣為何還要不全為負的條件?

3. u為空間中任意向量都對的話，那原題中某個平面上的向量不也是空間中的向量嗎？
   為何就會出現反例？

謝謝陆老師

luyuanhong

pgcci7339 发表于 2017-11-24 17:04
陆老師您好，關於您修改原題後的證明，我有幾個問題想請教：

1. u 為任意向量，但你的證明中，令u=向量O ...

（1）注意：u 为“任何非零向量”，是题目所给的条件，不是题目要证明的结论。

   对于题目所给的条件，可以全部用到，也可以只用一部分。事实上，只需要用“u = OP”

这样一个特殊的向量，就可以证明本题的结论，所以“任何非零向量”这一条件就用不到了。

   如果 u 为“任何非零向量”，不是题目所给的条件，而是题目要证明的结论，那当然就不

能只对某一个特殊的向量来证明，而是需要对“任何非零向量”来证明了。

（2）如果对某个向量 u 来说，三个內积 a·u,b·u,c·u“全为正”，那么把 u 变成反方向

的向量时，三个內积 a·u,b·u,c·u 就会变成“全为负”，反过来也是一样。可见，“全为正”

和“全为负”是同一件事情的两面，所以，说到“不全为正”，其实就已经包含了“不全为负”，

不过为了能让人直接看清这一条件，把“不全为正”和“不全为负”一起说出来，也许更好一点。

（3）原题的条件，只要求对“一平面上的任何非零向量 u ”来说，三个內积有正有负，修改后

的题目条件，变成要求对“空间中任何非零向量 u ”来说，三个內积不全正不全负，修改后的

条件，比原题的条件，要求更高了，所以，原题不能证明的结果，修改后就能证明了。

pgcci7339

luyuanhong 发表于 2017-11-24 19:05
（1）注意：u 为“任何非零向量”，是题目所给的条件，不是题目要证明的结论。

   对于题目所给的条件 ...

謝謝老師的回覆，我了解了，謝謝。