用数学归纳法证明：n^(1/n)＞(n+1)^[1/(n+1)] ，n=3,4,5,…

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

f(x)=x^(1/x)=e^((lnx)/x)
f'(x)=f(x)((1-lnx)/x^2)

x≥3时，f'(x)<0


用单调性证明很简单

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答（但未用数学归纳法，不符合原题要求）。

我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

angel_phoenix99

(k+1)^2>k(k+2)(1)

同时k+1次幂

((k+1)^(k+1))^2>(k^(k+1))((k+2)^(k+1))(2)
当n=3时
3^4>4^3，成立

假如n=k时，该推测成立

意味着
k^(k+1)>(k+1)^k(3)

(3)代入(2)
可以获得(k+1)^(k+2)>(k+2)^(k+1)(4)

同时取1/((k+1)(k+2))次幂，则n=k+1时也成立

该命题用数学归纳法得证

angel_phoenix99

(k+1)^2>k(k+2)(1)

同时k+1次幂

((k+1)^(k+1))^2>(k^(k+1))((k+2)^(k+1))(2)
当n=3时
3^4>4^3，成立

假如n=k时，该推测成立

意味着
k^(k+1)>(k+1)^k(3)

(3)代入(2)
可以获得(k+1)^(k+2)>(k+2)^(k+1)(4)

同时取1/((k+1)(k+2))次幂，则n=k+1时也成立

该命题用数学归纳法得证

elim

楼上 angel_phoenix99 的证明非常妙：

luyuanhong

楼上 elim 和 angel_phoenix99 的解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的多种解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。