趣味几何－半圆弦平分

ccmmjj

如图半圆Ｏ内接一四边形ＡＢＣＤ，其中Ｂ点在直径上，且满足ＢＤ垂直于直径，ＢＤ＝DＡ＝DＣ。
求证：ＡＣ平分ＢＤ。

天山草

这种形式上比较简单的题目，使用机器证明一定会成功：

天山草

设 OA 与 CD 交于 F，则
AE=AF⋅AO/AB=(AC cos∠FAC)⋅AO/AB=AOcos∠FAC=AC/2=AB/2.

注：这个证法是【悠闲数学娱乐论坛（第二版）】的论坛管理员 Kuing 先生给出的。

天山草

延长AB 交下圆于N，交上圆于M，然后 AE⋅EN=CE⋅DE=BE⋅EM，就是 AE(EB+BN)=EB(AE+AM)=EB(AE+AB)=EB(AE+BN)，展开得:

AE⋅EB+AE⋅BN=EB⋅AE+EB⋅BN， 故 AE=EB。




这个证法是【悠闲数学娱乐论坛（第二版）】的 abababa 先生给出的。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

不客气，天山草原来是悠闲数学娱乐论坛的ＴＳＣ９９９.把数学中国的娱乐兴趣转到那边去再转回来，也是奇妙的解题方法呢。
不过我的证明方法和那个abababa 的相同。那边论坛多年前详细看过一次，中学数学老师和学生较多，做题目也比较规范，也有些比较有意思的题目。不过没有这里有意思，这里有专业教授，有创新人才，有吹牛大王。

denglongshan

圆A与O的方程相减得CD得方程，再求CD与AB的交点E，计算简单。