在10进制中，1除以哪些数是除不完的呢？

chaoshikong

不防用穷举法列一下：

（1）1/3n当(n>0)时除不完，有（3,6,9,12,15...）

（2）1/7n当(n>0)时除不完，有（7,14,21,28...）

（3）1/11n当(n>0)时除不完，有(11,22,33...)

（4）……

（5）找规律，至少可以得出：

     (a)这些除不完的数的基数（数列第一个元素），都是素数

     (b)这些数，都不是本进制的因子，比如（5）

（6）更进一步找规律，发现：

     (a)可以除完其本身的倍数，1/10n(n<>0)，废话。

     (b)1可以除完其因子数的幕，比如10的因子(2,5)，那么2^n与5^n都能除完

     (c)可以得出，除(a),(b)以外的数，都不能整除

chaoshikong

不过话说回来，这还只是我的猜想，并没有去证明，有错误也请以能接受的口气回复，谢谢！~

angel_phoenix99

任何除数，如果其唯一因子分解里包含2和5以外的因子，那被1除后就会变无限循环小数
也就是说，凡是能表达成(2^a)(5^b)的，被1除之后小数个数是有限的

因为10=2*5

取c=Max(a,b)

用科学计数法
1/((2^a)(5^b))=(2^(c-a))(5^(c-b))E(-c)

因此，小数点个数不超过c个

chaoshikong

angel_phoenix99 发表于 2017-6-12 13:10
任何除数，如果其唯一因子分解里包含2和5以外的因子，那被1除后就会变无限循环小数
也就是说，凡是能表达 ...

谢谢angel_phoenix99的解答，那么如何证明1除以 这些数（除本进制的倍数 与 本进制的因子的幕 以外的数），都是除不完的呢？？？

任在深

概念性的错误！
       因为1”；注意不是1！是单位元！！所以1”除以任何整数所表示的是分数单位！！！
因此表示如下：
1/1
1/2
1/3 2/3
1/4 2/4 3/4
1/5 2/5 3/5 4/5
******************
**********************
************************
1/n 2/n 3/n 4/n 5/n......(n-1)/n,   n→∞

注意！在纯粹数学中因为 1：n=1/n,是比例关系，不应该用小数来表示！
        否则就会出现你文中出现的不应该出现的问题！

chaoshikong

任在深 发表于 2017-8-30 18:36
概念性的错误！
       因为1”；注意不是1！是单位元！！所以1”除以任何整数所表示的是分数单位！！！
...

根据大自然“优胜劣汰”法则，小数与分数，各有千秋，所以永远也不会淘汰。。。

这就是符合大自然法则的，哈哈。。。

天元酱菜院

如果正整数A可以被2与5之外的任意一个素数 p 整除，  即A可以写成 p*q形式（q为正整数），则1/A必为无限（循环）小数。

证明： 1） 假若1/A为有限小数，其小数位为m位， 即存在正整数L ,  使 L / 10^m =1/A
  于是就会有： AL =10^m;    即：p*q*L = 10^m； 或q*L=10^m / P    但我们知道10^m 除了2和5以外，不会含有其它素数因子，10^m / P  不会是整数。 这个矛盾说明1/A不会是有限小数。
2） 因为1/A不是有限小数，在使用长除法求1/A的小数值时，每一步余数都不会是0，而且这个余数要小于A。 但是A是有限的，所以当长除法施行A次时，必有至少两次取得相同的余数。而当长除法某步获得与之前某次步骤相同的余数时，以下的试商将完全重复。即我们将得到无限循环小数。

3） 这是十进制情形，其实我们可以取任意大于1的正整数作为进制约定。
    比如41进制——它是存在着的一种可选约定，虽然它将极不方便。
    如果我们选定N进制约定，由于N的素数因子有限，
    对于N的素数因子以外的任意素数p,  1/（整数 p*k），在N 进制下将是无限循环小数。

任在深

chaoshikong 发表于 2017-8-31 09:49
根据大自然“优胜劣汰”法则，小数与分数，各有千秋，所以永远也不会淘汰。。。

这就是符合大自然法则 ...

因此你的哈哈等于白乐呵？！
因为有理走遍天下；无理寸步难行！