在 123456789 中，选择若干位置放入加号，使得计算结果为 153

luyuanhong · 发表于 2017-6-12 06:55

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

在123456789這數中，數字與數字間選取若干個適當位置放入加號

(數字順序不可更動)使得計算結果為153，例如：1+2+3+45+6+7+89=153

試問除了上例之外，還有幾種不同的可能情形

luyuanhong · 发表于 2017-6-12 10:27

本帖最后由 luyuanhong 于 2017-6-12 10:44 编辑

题  在 123456789 中，选择若干位置放入加号，使得计算结果为 153 。

解  首先，因为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ，所以，相加的项不可能都是一位数。

其次，如果相加的项中有三位数，显然只可能是 123 ，与 153 相差 30 ，

剩下数字 4+5+6+7+8+9=39 ，不等于 30 ，如果凑成一些二位数，则超过 30 。

所以，相加的项中不可能有三位数。

可见，相加的项中，必定有一些是一位数，有一些是二位数。

设所有相加项中，十位数字之和为 x ，个位数字之和为 45-x 。

因为各项相加的总和为 10x+(45-x)=153 ，即有 9x=108 ，解得 x=12 。

经过搜索，123456789 中若干个不同的数相加等于 12 ，有下列 11 种情形：

（1）1+2+3+6=12 ，但因为 1,2 相连，1 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（2）1+2+4+5=12 ，但因为 1,2 相连，1 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（3）1+3+8=12 ，这种情形对应于原题的一个解 12+34+5+6+7+89=153 。

（4）1+4+7=12 ，这种情形对应于原题的一个解 12+3+45+6+78+9=153 。

（5）1+5+6=12 ，但因为 5,6 相连，5 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（6）2+3+7=12 ，但因为 2,3 相连，2 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（7）2+4+6=12 ，这种情形对应于原题的一个解 1+23+45+67+8+9=153 。

（8）3+4+5=12 ，但因为 3,4 相连，3 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（9）3+9=12 ，但因为 9 排在最后，9 不可能成为十位数字，这种情形无解。

（10）4+8=12 ，这种情形对应于原题的一个解 1+2+3+45+6+7+89=153 。

（11）5+7=12 ，这种情形对应于原题的一个解 1+2+3+4+56+78+9=153 。

由以上分析可知，本题共有下列 5 种解：

            12+34+5+6+7+89=153 。

            12+3+45+6+78+9=153 。

            1+23+45+67+8+9=153 。

            1+2+3+45+6+7+89=153 。

            1+2+3+4+56+78+9=153 。

elim · 发表于 2017-6-12 16:55

下面是一段 python 语言的小代码，处理一般的“分拆”问题.

from math import *
def splt(n,k):
d = 10**k
a = n%d
b = (n-a)/d
return a,b
def fds(n,k):
if n < 1:
return []
if k < n and n < 10:
return []
if k == n:
return [[k]]
ss = []
m = 0
while True:
m += 1
a,b = splt(n,m)
if b == 0:
break
if a == 0:
continue
tt = fds(b,k-a)
ll = len(tt)
if ll > 0:
for j in range(ll):
(tt[j]).append(a)
ss = ss+tt
return ss

复制代码

luyuanhong · 发表于 2017-6-12 22:22

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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