在椭圆 (x-8)^2/121+(y-15)^2/100=1 上，有几个点与原点的距离为整数？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

(x-8)^2/121 + (y-15)^2/100 =1  有幾個橢圓上的點與原點的距離是整數 ?

angel_phoenix99

似乎难度很大
我只能提个思路

圆x^2+y^2=a^2
其中a为正整数，求a的可能取值范围


把椭圆上点的坐标定义为参数方程
x=8+11cosδ
y=15+10sinδ

则a^2=x^2+y^2=17^2+10^2+176cosδ+300sinδ+21(cosδ)^2
只能粗略估计389-sqrt(176^2+300^2)<a^2<389+sqrt(176^2+300^2)+21

a只能取8-27之间的20个整数(此时圆和椭圆都是两个交点?)，因此40个整数点

不过我也没信心

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答（但计算略有一点错误）。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

因为

6.417…=√[389-√(176^2+300^2)]＜a＜√[389+√(176^2+300^2)]=27.144… ，

可见，a 可以取 7～27 范围内的 21 个整数值。

a 取每一个整数值时，圆与椭圆都有两个交点，所以椭圆上共有 42 个符合条件的点。

luyuanhong