设 x,y 皆为整数，求满足方程 (x+y)^2=(x+4)(y-4) 的整数对 (x,y)

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

若x,y皆為整數，試求滿足方程式(x+y)^2=(x+4)(y-4)的整數對(x,y)為?

luyuanhong

题  设 x,y 皆为整数，求满足方程 (x+y)^2 = (x+4)(y-4) 的整数对 (x,y) 。

解  原方程即

    (x+y)^2-(x+4)(y-4) = x^2+(y+4)x+y^2-4y+16

  = x^2+(y+4)x^2+(y+4)^2/4-(y+4)^2/4+y^2-4y+16

  = (x+y/2+2)^2+3y^2/4-6y+12

  = (x+y/2+2)^2+3(y-4)^2/4 = 0 。

    可以看出，上述方程要有实数解，必须有

    x+y/2+2 = 0  （1）   y-4 = 0   （2）

    从（2）得  y = 4 ，代入（1）解得 x = -4 。

    所以方程有唯一实数解，也是整数解 (x,y) = (-4,4) 。