不超过自然数x的素数数量与x的比值大于0

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/06/17 02:19pm 第 1 次编辑]

φ函数的值  Euler函数通式：
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
不超过自然数N的素数的数量，为：
π(N)=φ(N)-1+π(√N)
对于φ(N)=N(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中pn为√N的所有质因数，
=N(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)…(1-1/pn)
=N(1-1/2-1/3-1/5-1/7-…+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+…
-1/(2*3*5)-1/(2*3*7)-1/(2*5*7)+…
+1/(2*3*5*7)+1/(2*3*5*7)+1/(2*3*5*11)…  )
=N-[N/2]-[N/3]-[N/5]-[N/7]-…+[N/(2*3)]+[N/(2*5)]+[N/(2*7)]+[N/(3*5)]+[N/(3*7)]+…
-[N/(2*3*5)]-[N/(2*3*7)]-[N/(2*5*7)]+…
+[N/(2*3*5*7)]+[N/(2*3*5*7)]+[N/(2*3*5*11)]…
当N小于其几个最小素数的连乘，其分母超过这些素数的个数的分数就为0，不必计算了，如：
100小于2*3*5*7，超过4位的分母的分数就为0，不必计算了，其实，分数的数量有限。
这就是容斥原理的公式，可以认为是由Euler函数转化成的。没有任何误差。应当是素数分布的最终公式。
Euler函数通式：还能更简单：
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(x)=x(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…(1-1/pn)
表为数列
{x/2 x/3 x*4/15 x*8/35 …}
不超过自然数x的素数数量与x的比值是上面数列除以x，为：
{0.5 0.333… 0.2666… 0.2285… ……}
由于，自然数x和素数pn可以增大，但是，不能等于无穷大（数），
因此，自然数x与其素数数量之比，是一个大于0的无穷小量。
所以，不超过自然数x的素数数量与x的比值大于0.

zhujingshen

Euler函数通式 的意义在于揭示了筛法的内涵，
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
x(1-1/pn)就是素数pn筛去全部整数x的 1/pn，这里，表现出来的是筛去整数x剩余部分的 1/pn。这个结果体现了筛法的另一个特性。
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),公式在x等于不超过其开方数的所有素数的乘积时很准，如x=30=2*3*5.
当x增加，数值远小于不超过其开方数的所有素数的乘积时，作为近似计算，误差加大。

zhujingshen

当整数x是无穷大数，整数x可以是偶数，是奇数，但是，不能是素数。
所以，当整数x趋于无穷大，真的素数存在概率为0了。
对于这个问题，整数x趋于无穷大应当是没有意义的。

elimqiu

关于这方面的研究成果，基本上都围绕着【素数定理】，参见【素数定理的初等证明】一书。
到 ishare.iask.sina.com.cn 可以下。

熊一兵

楼主的观点是真理