[讨论]概率怪论之方形版

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/17 08:35pm 第 1 次编辑]


法国数学家贝特朗其发现了一个有趣的怪论，他研究了下面一个问题：
“设圆内等边三角形的边长为a，在圆内任做一弦，问其长度超过a的概率是多少？”
我们大家在贝特朗其研究的基础上，通过共同努力，暂时得出了五种不同的答案：
解法一：在圆周上任取两点作为弦的两个端点，其结果为1/3；
解法二：沿着圆的半径任取一点做为弦的中点，其结果为1/2；
解法三：在圆的内部任取一点做为弦的中点，其结果为1/4；
解法四：在圆周上和圆内各取一点作为弦的两个端点，其结果为1/3+√3/2π；
解法五：在圆内任取两点作为弦的两个端点，其结果为1/3+3√3/4π。

仿照上述问题，不妨提出概率怪论之方形版（原贝特朗其怪论可称为“概率怪论之圆形版”）供各位老师讨论：
设正方形的边长为a，在正方形内任做一弦（直线被正方形所截之线段部分），问其长度超过a的概率是多少？
方案一：在正方形边上任取两点作为弦的两个端点，求其概率；
方案二：沿着正方形的中心到边上的任意线段任取一点做为弦的中点，求其概率；
方案三：在正方形的内部任取一点做为弦的中点，求其概率；
方案四：在正方形边上和正方形内各取一点作为弦的两个端点，求其概率；
方案五：在正方形内任取两点作为弦的两个端点，求其概率。
请各位老师判断，上述五个方案是否也都可以得出五种不同的答案？

ygq的马甲

其实，寻找不是唯一解的原因，可能更有意义的

天茂

上述解法很可能存在计算错误，请各位老师指正。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/01 05:10pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/07/01 11:40am 发表的内容：
上述解法很可能存在计算错误，请各位老师指正。

N 可以落在正方形的四条边上，落在每一条边上的概率相等，应该都是 1/4 ，不是 1/3 。
另外，你的积分也有一些错。

elimqiu

这个问题肯定也能弄出怪论来。

天茂

谢谢陆老师！
不过，我一开始规定线段MN在正方形ABCD之内，所以N点落在AB边上的不算，改正结果如下图所示：

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/07/01 10:48pm 发表的内容：
谢谢陆老师！
不过，我一开始规定线段MN在正方形ABCD之内，所以N点落在AB边上的不算，改正结果如下图所示：
经Execl验证，这个结果也是对的。如下图所示：

您这么规定自然规定了不随机性。

elimqiu

假定‘弦’关于任意方向的‘直径’垂直地均匀分布。由对称性，只考虑与水平方向成 0 到 π/4 夹角的‘直径’。我们有如下结果：

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/07/01 06:32pm 发表的内容：
您这么规定自然规定了不随机性。

我们的目的就是要考察不随机性和随机性的界限到底在哪里。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/07/01 06:55pm 发表的内容：
假定‘弦’关于任意方向的‘直径’垂直地均匀分布。由对称性，只考虑与水平方向成 0 到 π/4 夹角的‘直径’。我们有如下结果：

按照圆形版中的经验，您这个方案应该归属于“方案四”，不过，还需要论证。