数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 10935|回复: 20

[讨论]概率怪论之方形版

[复制链接]
发表于 2011-6-29 08:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
[这个贴子最后由天茂在 2011/07/17 08:35pm 第 1 次编辑]


法国数学家贝特朗其发现了一个有趣的怪论,他研究了下面一个问题:
“设圆内等边三角形的边长为a,在圆内任做一弦,问其长度超过a的概率是多少?”
我们大家在贝特朗其研究的基础上,通过共同努力,暂时得出了五种不同的答案:
解法一:在圆周上任取两点作为弦的两个端点,其结果为1/3;
解法二:沿着圆的半径任取一点做为弦的中点,其结果为1/2;
解法三:在圆的内部任取一点做为弦的中点,其结果为1/4;
解法四:在圆周上和圆内各取一点作为弦的两个端点,其结果为1/3+√3/2π;
解法五:在圆内任取两点作为弦的两个端点,其结果为1/3+3√3/4π。

仿照上述问题,不妨提出概率怪论之方形版(原贝特朗其怪论可称为“概率怪论之圆形版”)供各位老师讨论:
设正方形的边长为a,在正方形内任做一弦(直线被正方形所截之线段部分),问其长度超过a的概率是多少?
方案一:在正方形边上任取两点作为弦的两个端点,求其概率;
方案二:沿着正方形的中心到边上的任意线段任取一点做为弦的中点,求其概率;
方案三:在正方形的内部任取一点做为弦的中点,求其概率;
方案四:在正方形边上和正方形内各取一点作为弦的两个端点,求其概率;
方案五:在正方形内任取两点作为弦的两个端点,求其概率。
请各位老师判断,上述五个方案是否也都可以得出五种不同的答案?
发表于 2011-6-29 08:46 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

其实,寻找不是唯一解的原因,可能更有意义的
 楼主| 发表于 2011-7-1 11:40 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版


上述解法很可能存在计算错误,请各位老师指正。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2011-7-1 17:08 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/01 05:10pm 第 1 次编辑]
下面引用由天茂2011/07/01 11:40am 发表的内容:
上述解法很可能存在计算错误,请各位老师指正。

N 可以落在正方形的四条边上,落在每一条边上的概率相等,应该都是 1/4 ,不是 1/3 。
另外,你的积分也有一些错。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2011-7-1 22:35 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

这个问题肯定也能弄出怪论来。
 楼主| 发表于 2011-7-1 22:48 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

谢谢陆老师!
不过,我一开始规定线段MN在正方形ABCD之内,所以N点落在AB边上的不算,改正结果如下图所示:

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2011-7-2 01:32 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

下面引用由天茂2011/07/01 10:48pm 发表的内容:
谢谢陆老师!
不过,我一开始规定线段MN在正方形ABCD之内,所以N点落在AB边上的不算,改正结果如下图所示:
经Execl验证,这个结果也是对的。如下图所示:
您这么规定自然规定了不随机性。
发表于 2011-7-2 01:55 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

假定‘弦’关于任意方向的‘直径’垂直地均匀分布。由对称性,只考虑与水平方向成 0 到 π/4 夹角的‘直径’。我们有如下结果:

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
 楼主| 发表于 2011-7-2 07:26 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

下面引用由elimqiu2011/07/01 06:32pm 发表的内容:
您这么规定自然规定了不随机性。
我们的目的就是要考察不随机性和随机性的界限到底在哪里。
 楼主| 发表于 2011-7-2 07:27 | 显示全部楼层

[讨论]概率怪论之方形版

下面引用由elimqiu2011/07/01 06:55pm 发表的内容:
假定‘弦’关于任意方向的‘直径’垂直地均匀分布。由对称性,只考虑与水平方向成 0 到 π/4 夹角的‘直径’。我们有如下结果:
按照圆形版中的经验,您这个方案应该归属于“方案四”,不过,还需要论证。
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 06:24 , Processed in 0.089147 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表