x^4+8x^3-2x^2+kx-5=0根为 a,b,c,d，1/(x-a)+1/(x-b)+…+1/(x-d)=0根为 -6,-1,1，求 k

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

angel_phoenix99

设f(x)为四次方程

原题等价于6，1，-1是f'(x)=0的解

由于f'(x)=4x^3+24x^2-4x+k

由根与系数关系(首系数和常数项)
k=4*6*1*(-1)=-24

证明过程，可设
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

则f'(x)/f(x)=1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)+1/(x-d)

因此已知条件就是f'(x)=0的三个解

angel_phoenix99

设f(x)为四次方程

原题等价于6，1，-1是f'(x)=0的解

由于f'(x)=4x^3+24x^2-4x+k

由根与系数关系(首系数和常数项)
k=4*6*1*(-1)=-24

证明过程，可设
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

则f'(x)/f(x)=1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)+1/(x-d)

因此已知条件就是f'(x)=0的三个解

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。