高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

愚工688

lusishun 发表于 2017-11-1 06:48
我对您的计算不怀疑，而是看到这样的差距而惊讶，但细一想在小一点的数据中也有这种情况。120就有12种表 ...

你这个例子不恰当。
因为120=2*2*2*3*5 ，k（120）=(3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=8/3=2.66666,
而128=2*2*2*2*2*2*2， k（128）= 1，
两者没有可比性。
而应该与126 比较：
126=2*3*3*7 ，K(126)=(3-1)/(3-2)*(7-1)/(7-2)=2.4 ;
虽然 126 比120 大，并且含有素因子3、7 ，但是其K值小于120的k值，故其素对也少于120的素对数量。

lusishun

愚工688 发表于 2017-11-1 12:16
你这个例子不恰当。
因为120=2*2*2*3*5 ，k（120）=(3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=8/3=2.66666,
而128=2*2*2 ...

您这里的k(n)是什么意思，不懂

愚工688

lusishun 发表于 2017-11-2 01:34
您这里的k(n)是什么意思，不懂

偶数M含有的奇数素因子所产生的系数K(m).
反映了偶数实际能够分成的素对数量的波动特征。在下界计算值基础上向上波动的幅度。

实例：
对于5万以下的偶数M，不用考虑素对计算值的相对误差的修正问题，素对数量 S(m)的计算值为 ：
Sp(m) =(A-2)*P(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min；
      其中素对最低发生率 P(m)min=1/2×π[(r-2)/r], 奇素数 r≤√(M-2).
由于P(m)min在偶数M的小于√(M-2)的最大素数r不变的区域中是个常数，因此素对的计算就变得很简单了。

例如： 在17164 -- 18770 范围，r=  131 ，P(m)min=.5×π[(r-2)/r]= .01688 ,(r≥3.)

  利用P(m)min值，计算18000的连续几个偶数的素对数量：
  因式分解，计算各个偶数的素因子系数 K(m)值：
  18000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 ;k=（3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=2.6667
  18002 = 2 * 9001  ；     k=1
  18004 = 2 * 2 * 7 * 643 ;k=(7-1)/(7-2)=1.2
  18006 = 2 * 3 * 3001 ;k=2
  18008 = 2 * 2 * 2 * 2251 ;k=1
  18010 = 2 * 5 * 1801 ;k=(5-1)/(5-2)=1.3333
因此
S(18000)= 419 ，Sp(18000)=(9000-2)* .01688 *2.6667 ≈405.03，δ(m)≈-0.0333
S(18002)= 153 ，Sp(18002)=(9001-2)* .01688 ≈151.90  ，δ(m)≈-0.0072
S(18004)= 186 ，Sp(18004)=(9002-2)* .01688 *1.2≈182.30  ，δ(m)≈-0.0199
S(18006)= 315 ，Sp(18006)=(9003-2)* .01688 *2≈303.87  ，δ(m)≈-0.0353
S(18008)= 153 ，Sp(18008)=(9004-2)* .01688 ≈151.95   ，δ(m)≈-0.0069
S(18010)= 209 ，Sp(18010)=(9005-2)* .01688 *1.3333 ≈202.63  ，δ(m)≈-0.0305

对于17200起的连续偶数M的计算方法与上面相同：
17200 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 43 ；k=（5-1）/(5-2)*42/41=1.36585
17202 = 2 * 3 * 47 * 61 ；k=2*46/45*60/59=2.0791
17204 = 2 * 2 * 11 * 17 * 23 ；k=10/9*16/15*22/21=1.24162
17206 = 2 * 7 * 1229 ；k=6/5=1.2
17208 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 239 ；k=2；
17210 = 2 * 5 * 1721 ；k=4/3=1.33333

S(17200)= 209 ，Sp(m)=（8600-2）*.01688 * 1.36585≈ 198.2      δ(m)≈-.0515
S(17202)= 295 ，Sp(m)=（8601-2）*.01688 * 2.0791 ≈ 301.8      δ(m)≈ .023   
S(17204)= 189 ，Sp(m)=（8602-2）*.01688 * 1.24162 ≈ 180.2      δ(m)≈-.0463
S(17206)= 181 ，Sp(m)=（8603-2）*.01688 *1.2≈ 174.2      δ(m)≈-.0375
S(17208)= 305 ，Sp(m)=（8604-2）*.01688 *2≈ 290.4      δ(m)≈-.0479  
S(17210)= 195 ，Sp(m)=（8605-2）*.01688 *1.33333≈ 193.6      δ(m)≈-.0071

很显然，上面计算式中的  (A-2)*.01688  部分是线性的，素对数量的波动由素因子系数 K(m) 所显示。

重生888@

r以外应该有素数。因为偶数124的r=11,    11以外有13  17  19  ......

愚工688

重生888@ 发表于 2017-11-2 09:30
r以外应该有素数。因为偶数124的r=11,    11以外有13  17  19  ......

但是判断124分成的素对需要用到 r以外的素数 吗？

124形成的奇数对中，1排除在外，最大奇数 是124-3=121 ，用Eratosthenes筛法：N不能被小于或等于根号N的所有素数整除时就是素数。这是判断素数的通用常识。
显然除了121用到11外，判断其它的素对连11也没有用到，更不用说 【 11以外有13  17  19 】的素数了。

重生888@

愚工688 发表于 2017-11-3 11:45
但是判断124分成的素对需要用到 r以外的素数 吗？

124形成的奇数对中，1排除在外，最大奇数 是124-3=1 ...

我两意思弄反了。您的意思是判断，我的意思是：r的平方加一的偶数，r以内的素数与r以外的素数。谢谢！

lusishun

愚工688 发表于 2017-11-2 02:46
偶数M含有的奇数素因子所产生的系数K(m).
反映了偶数实际能够分成的素对数量的波动特征。在下界计算值 ...

我求和为124的素数对，是这样求的：
  124/2*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）
=62（1/2）（1/3）（3/5）（5/7）（9/11）
=3.6233766234。
实际（11，113筛掉了），
  （17，107），（23，101），（41，83），（53，71）。
加强比例筛
  124/2*（1-4/7）（1-13/36-13/36）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）
=62（3/7）（10/36）（1/3）（3/5）（5/7）
=1.0544217687.
加强筛，还没有剩余啊

愚工688

lusishun 发表于 2017-11-3 09:38
我求和为124的素数对，是这样求的：
  124/2*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）
=62（1/ ...

我们提出的方法，要适用于大多数的偶数的素对计算，而不能仅仅针对几个偶数。
你的【加强比例筛】就是只能针对某一些偶数的方法。

在某些小偶数的计算值小于实际值时，通过增大比例（即我说的概率）使得计算值更接近实际值，那么对于计算值大于实际的那些偶数，【加强比例筛】的方法还有用吗？
【加强比例筛】的方法能够降低整个区域偶数的相对误差水平吗？
【加强比例筛】的方法能够通过计算值的平均精度吗？

到比较大的偶数范围，如一亿附近的偶数，计算值普遍比实际值大10%左右，此时【加强比例筛】——即增大比例的方法必将使得相对误差的绝对值更大。

因此不能用某个偶数的计算特例来说明【加强比例筛】的方法的普遍适用性与正确性。

lusishun

愚工688 发表于 2017-11-3 13:47
我们提出的方法，要适用于大多数的偶数的素对计算，而不能仅仅针对几个偶数。
你的【加强比例筛】就是 ...

》》》通过增大比例（即我说的概率）使得计算值更接近实际值

我的增大比例，不是为了   使得计算值更接近实际值，而是，要保证，每一个要筛去的素数的倍数（个数），都筛除干净，您先确认下，这方法是否达到目的。

愚工688

lusishun 发表于 2017-11-3 23:26
》》》通过增大比例（即我说的概率）使得计算值更接近实际值

我的增大比例，不是为了   使得计算值更 ...

你的这个【每一个要筛去的素数的倍数（个数），都筛除干净，】的定义是什么？
都筛除干净——其反面——没有筛除干净又是什么情况？
本来偶数M的素对，在不包括小素p1＜√M 的素对中的素数，必然不能被＜√M的全部素数整除。
那么所谓的【加强比例筛】，是依据什么来加强的？
本来，在偶数M分成的整数对  A±x 中，在自然数区间[0，A-3] 中的符合形成素对的x值，可归纳为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数；

除以2时，余数满足不等于j2 的数的发生概率为（1-1/2）=1/2；
除以3时，余数满足不等于j3 及（3-j3 ）的数的发生概率为（1-2/3)，（j3≠0时）；或发生概率为（1-1/3)，（j3=0时）；
除以5时，余数满足不等于j5 及（5-j5 ）的数的发生概率为（1-2/5)，（j5≠0时）；或发生概率为（1-1/5)，（j5=0时）；
…
除以n时，余数满足不等于jn 及（n-jn）的数的发生概率为（1-2/n)，（jn≠0时）；或发生概率为（1-1/n)，（jn=0时）；
…
除以r时，余数满足不等于jr 及（r-jr）的数的发生概率为（1-2/r)，（jr≠0时）；或发生概率为（1-1）/r)，（jr=0时）；
因此依据概率的独立事件的乘法原理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}

而你的加强比例筛 ：
  124/2*（1-4/7）（1-13/36-13/36）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）
中，既然已经有了 （1-2/7），已经筛除了能够整除7的x的大小对应值，那么你的
（1-4/7）——要筛除什么？
本来的 形成奇数对的x值的概率（比例）：（1-1/2），改成（1-4/7），表示的是什么意思？
（1-13/36-13/36）——莫名其妙的因子又表示什么意思？想筛除什么？

连乘式中的每一个因子，都有确定的作用，都表述了一个确切的意义。因此所谓的【加强】，是没有任何意义与依据的。

同样以偶数124 为例：
M= 124  ，A= 62 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ，11， A除以素数2、3、5、7、11的余数分别是j2=0、j3=2、j5=2、j7=6、j11=7，
在[0，59]区间里面的( 124/2- 2)个自然数中，同时满足：
x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠2与1、x除以5的余数≠2与3、x除以7的余数≠6与1 、x除以11的余数≠7与4的x值
实际有 x= : 9  21  39  45  ( 51 )——括号内指 A-x 小于≤√(M-2)的值；
代入得到的[A-x + A+x ] ： 53 + 71  ，41 + 83 ， 23 + 101 ， 17 + 107 ，（ 11 + 113  ）
它们的概率计算数量 Sp( 124)有
Sp( 124)=[( 124/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 3.51  
很显然：
( 124/2- 2)/2表示筛除取值区间内的偶数；因为A是偶数，x取奇数时，[A-x ， A+x ]必然是奇数对；
*( 1/ 3) ——表示 x除以3的余数不等于2与1，就是取3的整数倍，[A-x ， A+x ]必然都不能被3整除；
*( 3/ 5)—— 表示取 除以5的余数不等于2与3的 x值，[A-x ， A+x ]必然都不能被5整除；
*( 5/ 7) —— 表示取 x除以7的余数不等于6与1 的值，[A-x ， A+x ]必然都不能被7整除；
*( 9/ 11) ——表示取 x除以11的余数不等于7与4的x值，[A-x ， A+x ]必然都不能被11整除；
同时满足上面条件的x值与A=62 一起 形成素对 （A-x ， A+x ）。
S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.51    Δ1(m)=-.12   K(m)= 1     r= 11

我是丝毫也看不出你的【加强比例筛】有什么必要，有什么意义，有什么作用。