高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

愚工688

重生888@ 发表于 2021-11-28 00:17
谢谢楼主先生！我来做作业：
G（3112513558）=？

10个连续偶数的真值：
3112513550:10:2

G(3112513550) = 6318397
G(3112513552) = 4741462
G(3112513554) = 9520337
G(3112513556) = 4943757
G(3112513558) = 6319921
G(3112513560) = 13788790
G(3112513562) = 4740315
G(3112513564) = 4739433
G(3112513566) = 9928144
G(3112513568) = 4740742

count = 10, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.723 sec


你的计算：
D（3112513554）=3121904*3=9365712；Δ≈-0.01624；
D（3112513556）=4682857；Δ≈-0.05277；
D（3112513558）=4682857 ；Δ≈-0.25903；——为什么这个偶数的相对误差会这么大？因为它含有素因子7、11 。
D（3112513560）=3121904*4=12487616；Δ≈-0.09436；
D（3112513562）=4682857；Δ≈-0.01212；
你的计算值的相对误差的波动时比较大的，因为你没有考虑√M的全部素因子的作用。只有考虑√M的全部素因子的作用，像全息摄影那样不放过造成素对数量波动的每个素数，才能比较好的反应出素对数量的真实情况。


因为你的计算值都小于真值，我也使用素对下界计算式来进行计算10个连续的偶数：

G(3112513550) = 6318397；
inf( 3112513550 )≈  6294817.6 , Δ≈-0.00373 ,infS(m) = 4721113.17 , k(m)= 1.33333
G(3112513552) = 4741462；
inf( 3112513552 )≈  4721113.2 , Δ≈-0.00429 ,infS(m) = 4721113.17 , k(m)= 1
G(3112513554) = 9520337；
inf( 3112513554 )≈  9481733.6 , Δ≈-0.00405 ,infS(m) = 4721113.18 , k(m)= 2.00837
G(3112513556) = 4943757；
inf( 3112513556 )≈  4924396.5 , Δ≈-0.00392 ,infS(m) = 4721113.18 , k(m)= 1.04306
G(3112513558) = 6319921；
inf( 3112513558 )≈  6294817.6 , Δ≈-0.00397 ,infS(m) = 4721113.18 , k(m)= 1.33333
G(3112513560) = 13788790；
inf( 3112513560 )≈ 13734952.9 , Δ≈-0.00390 ,infS(m) = 4721113.19 , k(m)= 2.90926
G(3112513562) = 4740315；
inf( 3112513562 )≈  4721498.6 , Δ≈-0.00397 ,infS(m) = 4721113.19 , k(m)= 1.00008
G(3112513564) = 4739433；
inf( 3112513564 )≈  4721113.2 , Δ≈-0.00387 ,infS(m) = 4721113.19 , k(m)= 1
G(3112513566) = 9928144；
inf( 3112513566 )≈  9890847 , Δ≈-0.00376 ,infS(m) = 4721113.19 , k(m)= 2.09502
G(3112513568) = 4740742；
inf( 3112513568 )≈  4721113.2 , Δ≈-0.00414 ,infS(m) = 4721113.2 , k(m)= 1

inf( 3112513570 )≈  6309091.6 , Δ≈,infS(m) = 4721113.2 , k(m)= 1.33636
inf( 3112513572 )≈  11330671.7 , Δ≈,infS(m) = 4721113.2 , k(m)= 2.4
time start =10:43:17  ,time end =10:44:27   ,time use

重生888@

愚工688 发表于 2021-11-28 11:18
10个连续偶数的真值：
3112513550:10:2

谢谢愚工先生！您辛苦了，再次谢谢！
您的计算很精确，不知4721113是怎么得来的？有公式吗。
我的公式下限值，已到了位，再大就超过了，。虽然3112513558的比值低，其实它更加保证了下限值！因为它大大高于最低计算值！因此我的公式是有长处的：不用分解质因数，不用知道素数大小，多少；再说，连续偶数的计算，一次成功，简单明了。谢谢交流！

愚工688

重生888@ 发表于 2021-11-28 04:20
谢谢愚工先生！您辛苦了，再次谢谢！
您的计算很精确，不知4721113是怎么得来的？有公式吗。
我的公式 ...

在1楼，有：
Sp(m*)= (A-2)/[2(1+μ)]*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)]         {式4}
        式中：3≤ n≤r；n是素数; k是偶数M含有的奇素数因子，k≤√(M-2)。

在选取合适的μ值作修正后，可以得到偶数素对的下界计算式：
inf(M)=(A-2)/[2(1+μ)]*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)] ;  
在15亿——80亿之间我取μ=0.148；若对任意大偶数的素对下界计算，则可以取μ=0.21，但是计算精度则下降；μ值的取法，来源于实际偶数样本的相对误差的统计计算与分析。

而上式去掉素因子系数*π[(k-1)/(k-2)] 后就得到你问的计算值——区域素对下界值infS（m)：
infS（m)=(A-2)/[2(1+μ)]*π[(n-2)/n];
区域素对下界值infS是单调增大的数值，它随偶数增大而相对缓慢的增大。表明了任意大的偶数的素对的最低值是逐渐增大的。



D（3112513558）=4682857 ；Δ≈-0.25903；——为什么这个偶数的相对误差会这么大？因为它含有素因子7、11 。
如果不是它们的影响，相对误差的水平就与你设定的差不多了。

计算值/真值-1=-0.25903，
计算值/真值=0.74097
若没有素因子7，11的影响，则 精度= 计算值/真值=0.74097*（7-1）/（7-2）*（11-1）/（11-2）=0.98796，
相对误差  Δ= 0.98796-1= -0.01204，就不算差的了。

因此你的计算方法对不大的偶数是可以的，因为它们不可能含有许多其它的素数。
而比较大的偶数中是不可避免的含有其它素因子的，
每7个连续偶数中有一个数能够被7整除；
每11个连续偶数中有一个数能够被11整除；
每13个连续偶数中有一个数能够被13整除；
……
每7×11个连续偶数中有一个数能够同时被7、11整除；
每7×13个连续偶数中有一个数能够同时被7、13整除；
……
当这样情况发生时就意味着这个偶数你的计算值的相对误差水平必然会比一般情况下的计算误差更大。
而你的素对计算值的相对误差的波动大主要由这样的因素造成的。

重生888@

天山草 发表于 2021-11-27 11:12
公式中的 5/8  是怎么来的？ 为什么是 F11 而不是别的？

请天山草老师继续交流！

重生888@

愚工688 发表于 2021-11-28 13:06
在1楼，有：
Sp(m*)= (A-2)/[2(1+μ)]*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)]         {式4}
        式中：3 ...

谢谢愚工先生对小因子素数分析，并指出和还原了原因！
不过，我认为个别的不影响计算。因为他不要二次计算，谢谢！

重生888@

当然楼主这一次改进也很方便，方便与精度并存更好！不是道不同，而是略有差别！谢谢！

愚工688

使用连乘式计算3500亿的大偶数的素对数量，是比较化时间的：


G(350000000000) = 566240377；
Sp( 350000000000 *)≈  565994611.8 , Δ≈-0.000434, k(m)= 1.6
G(350000000002) = 353889363；
Sp( 350000000002 *)≈  353746632.4 , Δ≈-0.000403, k(m)= 1
G(350000000004) = 717784873；
Sp( 350000000004 *)≈  717457958.6 , Δ≈-0.000455, k(m)= 2.02817
G(350000000006) = 362950888；
Sp( 350000000006 *)≈  362817058.8 , Δ≈-0.000369, k(m)= 1.02564
G(350000000008) = 374985721；
Sp( 350000000008 *)≈  374813393.7 , Δ≈-0.000460, k(m)= 1.05955
G(350000000010) = 972138855
Sp( 350000000010 *)≈  971724198.1 , Δ≈-0.000427, k(m)= 2.74695
G(350000000012) = 395467221；
Sp( 350000000012 *)≈  395317744.4 , Δ≈-0.000378, k(m)= 1.11752
G(350000000014) = 424688917；
Sp( 350000000014 *)≈  424520117.7 , Δ≈-0.000397, k(m)= 1.20007
G(350000000016) = 707801727；
Sp( 350000000016 *)≈  707493264.7 , Δ≈-0.000436, k(m)= 2
G(350000000018) = 353914007；
Sp( 350000000018 *)≈  353748339 , Δ≈-0.000468, k(m)= 1
G(350000000020) = 539549822；
Sp( 350000000020 *)≈  539306176.5 , Δ≈-0.000452, k(m)= 1.52455
G(350000000022) = 734215313；
Sp( 350000000022 *)≈  733903026 , Δ≈-0.000425, k(m)= 2.07466
start time :09:52:32, end time:10:21:59use time :

计算式：（因子*p(m)的展开即是素数连乘式）
Sp( 350000000000 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 565994611.8 , k(m)= 1.6
Sp( 350000000002 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 353746632.4 , k(m)= 1
Sp( 350000000004 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 717457958.6 , k(m)= 2.02817
Sp( 350000000006 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 362817058.8 , k(m)= 1.02564
Sp( 350000000008 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 374813393.7 , k(m)= 1.05955
Sp( 350000000010 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000010 /2 -2)*p(m) ≈ 971724198.1 , k(m)= 2.74695
Sp( 350000000012 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000012 /2 -2)*p(m) ≈ 395317744.4 , k(m)= 1.11752
Sp( 350000000014 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000014 /2 -2)*p(m) ≈ 424520117.7 , k(m)= 1.20007
Sp( 350000000016 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000016 /2 -2)*p(m) ≈ 707493264.7 , k(m)= 2
Sp( 350000000018 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000018 /2 -2)*p(m) ≈ 353748339 , k(m)= 1
Sp( 350000000020 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000020 /2 -2)*p(m) ≈ 539306176.5 , k(m)= 1.52455
Sp( 350000000022 *) = 1/(1+ .16544 )*( 350000000022 /2 -2)*p(m) ≈ 733903026 , k(m)= 2.07466

愚工688

以今天日期的百倍为随机偶数计算偶数的素对数量的下界计算值与计算精度：

inf( 2022082000 )≈  4537115.3 , jd ≈0.99327 ,infS(m) = 3190159.21 , k(m)= 1.42222
inf( 2022082002 )≈  6380318.4 , jd ≈0.99385 ,infS(m) = 3190159.22 , k(m)= 2
inf( 2022082004 )≈  3190159.2 , jd ≈0.99323 ,infS(m) = 3190159.22 , k(m)= 1
inf( 2022082006 )≈  3828191.1 , jd ≈0.99373 ,infS(m) = 3190159.22 , k(m)= 1.2
inf( 2022082008 )≈  6380318.5 , jd ≈0.99320 ,infS(m) = 3190159.22 , k(m)= 2
inf( 2022082010 )≈  4644414.1 , jd ≈0.99389 ,infS(m) = 3190159.23 , k(m)= 1.45586
inf( 2022082012 )≈  3300164.7 , jd ≈0.99308 ,infS(m) = 3190159.23 , k(m)= 1.03448
inf( 2022082014 )≈  6683461.2 , jd ≈0.99387 ,infS(m) = 3190159.23 , k(m)= 2.09502
inf( 2022082016 )≈  3190159.2 , jd ≈0.99364 ,infS(m) = 3190159.24 , k(m)= 1
inf( 2022082018 )≈  3549291.5 , jd ≈0.99312 ,infS(m) = 3190159.24 , k(m)= 1.11258
inf( 2022082020 )≈ 10208509.6 , jd ≈0.99356 ,infS(m) = 3190159.24 , k(m)= 3.2
inf( 2022082022 )≈  3229543.9 , jd ≈0.99320 ,infS(m) = 3190159.25 , k(m)= 1.01235
time start =20:25:04  ,time end =20:25:56   ,time use =

2022082000:12:2
素数对真值：
G(2022082000) = 4567849
G(2022082002) = 6419774
G(2022082004) = 3211911
G(2022082006) = 3852350
G(2022082008) = 6424014
G(2022082010) = 4672952
G(2022082012) = 3323164
G(2022082014) = 6724711
G(2022082016) = 3210573
G(2022082018) = 3573866
G(2022082020) = 10274717
G(2022082022) = 3251646

计算式：
inf( 2022082000 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082000 /2 -2)*p(m) ≈ 4537115.3
inf( 2022082002 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082002 /2 -2)*p(m) ≈ 6380318.4
inf( 2022082004 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082004 /2 -2)*p(m) ≈ 3190159.2
inf( 2022082006 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082006 /2 -2)*p(m) ≈ 3828191.1
inf( 2022082008 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082008 /2 -2)*p(m) ≈ 6380318.5
inf( 2022082010 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082010 /2 -2)*p(m) ≈ 4644414.1
inf( 2022082012 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082012 /2 -2)*p(m) ≈ 3300164.7
inf( 2022082014 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082014 /2 -2)*p(m) ≈ 6683461.2
inf( 2022082016 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082016 /2 -2)*p(m) ≈ 3190159.2
inf( 2022082018 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082018 /2 -2)*p(m) ≈ 3549291.5
inf( 2022082020 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082020 /2 -2)*p(m) ≈ 10208509.6
inf( 2022082022 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022082022 /2 -2)*p(m) ≈ 3229543.9

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-11-27 15:54
不用说哈-李素对计算式的计算精度不高，那时你没有掌握哈-李素对计算式的计算的相对误差的变化的规律，不要 ...

愚公688老师一再强调：
高精度哥猜数的计算可采用下述公式：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2，（实则为Xi(M)=t2*c1*M/ln(M)^2）
相对误差动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484;
C1--类似拉曼扭杨系数，略作改进；（只计算√M内的素数以提高计算速度）

公认的哈李对数计算式是：R2=2c*M/ln(M)^2*K，式中K——波动因子∏(p-2)/(p-1)，3≤p≥√M，p|M；
对于单计哥猜数计算式应改为：R1=c*M/ln(M)^2*K。
哈李对数计算式，适用于偶数无穷大；当偶数为有限数值时，计算值小于哥猜数真实值。
愚公计算式中的增加了一个修正系数t2，为的是使其计算值接近于哥猜数真实值；
愚公计算式中“类似拉曼扭杨系数”C1实则为哈李计算式中的c*K，至少笔者这样认为并一直如此处理涉及愚公的一些计算数据；
然而愚公又声称“只计算√M内的素数”，看来愚公的C1中的c并不是哈李常数c=0.660161815…；
查阅有关资料可知，哈李常数c是当p趋近于无穷大时连乘积∏[1-1/(p-1)^2]的极限值，
愚公计算式中的C1中的c只取到M平方根内的最大素数：
当p=3时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.75；
当p=5时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.703125；
当p=7时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.68359375；
……
当p=97时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.661377084547185；
当p=997时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.6602457439708；
当p=9973时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.660168296505504；
当p=99991时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.660162345466730；
当p=999983时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.660161860589839；
当p=9999991时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.660161819715374；
当p=10570841（第100万个素数）时，∏[1-1/(p-1)^2]=0.660161819494655；
更多更大的∏[1-1/(p-1)^2]值笔者没有计算，相信连乘积的数值越来越小，并最终趋近于哈李常数c的值。

愚公声称如此处理是为了“提高计算速度”，看来使用变数c不如使用常数c计算速度更快；
要说是为了“提高计算精度”，倒是说得通，因为愚公的变数c要比哈李常数c大一些。
究竟是什么原因，请愚公老师给予解答！

重生888@

愚工688 发表于 2022-8-20 20:49
以今天日期的百倍为随机偶数计算偶数的素对数量的下界计算值与计算精度：

inf( 2022082000 )≈  4537115 ...

G（2022082000）=4567849
D（2022082000）=4232402               D/G=0.926563          （由此知道有小因子）验证是17：
D=4232402*16/15=4514562              D/G=0.988333

4232402/2=2116201     （一份素对）
G（202208220）=10274717
D（202208220）=2116201*4=8464804        由误差过大，只有小因子，验证是7：
D（202208220）=8464804*6/5=10157764          D/G=0.988617