“在平面中任作一直线”可有多种做法，但实质上都是等价的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/02 09:08pm 第 3 次编辑]

    如果把 Bertrand 怪论的问题改成：
    在平面中任作一直线，当直线与单位圆相交时，求直线被单位圆
截得的弦长大于√3 的概率。
    由于“在平面中任作一直线”的做法，实质上是是唯一的，所以，
这个修改后的问题的答案，也是唯一的，不会有多种不同的答案。

尚九天

下面引用由luyuanhong在 2011/07/02 08:58pm 发表的内容：
    如果把 Bertrand 怪论的问题改成：在平面中任作一直线，当直线与单位圆相交时，求直线被单位圆
截得的弦长大于√3 的概率。
    由于“在平面中任作一直线”的做法，实质上是是唯一的，所以，
这个修改后的　...

:em05: “没理的三扁担，有理的扁担三”，各占一半 ---- 1/2 .

wangyangkee

感觉：不管Bertrand 怪论，是否改变说法，问题的答案，都是一个。

elimqiu

一个独立于相交对象的直线的各向同性，平移不变的分布。这就是极大随机的合理解读和唯一解的根据。

天茂

三个做法在“在平面中任作一直线”的条件下，实质上都是等价的。
但是，如果再加上“直线与单位圆相交”这个条件，就并不能保证三个做法实质上还是等价的。
事实上，要保证“直线与单位圆相交”，三个做法对参数的要求和独立型都不一样：
“做法一”要求 r∈[-1,1]，对角度θ没有任何限制，r和θ相互独立。
但“做法二”会出现两种情况：
如果A点在圆内，则角度φ没有任何限制，点A和角度φ相互独立；
如果A点不在圆内，则角度φ就要受到某个范围的限制，点A和角度φ并不相互独立。
而“做法三”也会出现两种情况：
如果A、B两点都点在圆内，那么，这两点就是互相独立的，
如果A、B两点至少有一点在圆外，那么，这两个点就会互相干扰，而不是相互独立的。

天茂

陆老师的三个做法排除了原概率悖论“在圆周上均匀取点”的可能，不仅只留下“圆内均匀取点”和“圆内均匀取角”，而且又增加了“圆外均匀取点”这一个附加条件。
因此，这三个做法和真正的概率悖论还是有一定的距离的。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/07/03 10:09am 发表的内容：
三个做法在“在平面中任作一直线”的条件下，实质上都是等价的。
但是，如果再加上“直线与单位圆相交”这个条件，就并不能保证三个做法实质上还是等价的。
事实上，要保证“直线与单位圆相交”，三个做法对参数 ...

我说的“做法一”，“做法二”，“做法三”都是作直线的方法。
在作直线的时候，与圆没有任何关系，可以认为圆还不存在，所以
作直线时，根本不用考虑 A、B 点是在圆内还是在圆外的问题。
我们可以这样设想：先在平面中按照“做法一”等作出了无数多条直线，
然后再作一个圆，再看看作出的直线中，有哪些直线是与这个圆相交的，
对于那些与圆相交的直线，再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,
然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/07/03 03:33pm 发表的内容：
我说的“做法一”，“做法二”，“做法三”都是作直线的方法。
在作直线的时候，与圆没有任何关系，可以认为圆还不存在，所以
作直线时，根本不用考虑 A、B 点是在圆内还是在圆外的问题。
我们可以这样设想：先在平面中按照“做法一”等作出了无数多条直线，
然后再作一个圆，再看看作出的直线中，有哪些直线是与这个圆相交的，
对于那些与圆相交的直线，再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,
然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。

为了把事情搞明白，我建议陆老师试一试下面的做法：
先在平面中按照“做法二”或“做法三”作出无数多条直线，然后再作一个圆，再看看作出的直线中，有哪些直线是与这个圆相交的，对于那些与圆相交的直线，再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
如果最后的结果仍然是1/2，那么，说三个做法的实质是一样的，就更加理直气壮了。

天茂

我们知道，极坐标确定的点和直角坐标确定的点是一一对应的，这就决定了这两种做法的等价性。
同理，如果能证明“做法一”所确定的直线、“做法二”所确定的直线、“做法三”所确定的直线，两两之间也都存在一一对应关系，那么，也可以说三种做法就是等价的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/03 05:44pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/07/03 04:13pm 发表的内容：
为了把事情搞明白，我建议陆老师试一试下面的做法：
先在平面中按照“做法二”或“做法三”作出无数多条直线，然后再作一个圆，再看看作出的直线中，有哪些直线是与这个圆相交的，对于那些与圆相交的直线，再看看它们被圆截得的弦长是不是大于 √3 ,然后算出直线被圆截得的弦长大于 √3 的概率。
如果最后的结果仍然是1/2，那么，说三个做法的实质是一样的，就更加理直气壮了。

你可以自己试试用 Excel 计算。

“做法二”：
用语句 1000*(2*RND()-1) ，1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
（实际上应该在全平面中取 A 点，但实际上这是不可能的，只能近似做到，
上面的语句，相当于在一个 (-1000,1000)×(-1000,1000) 的正方形中取。）
用语句 3.14159265*RND() 取直线的方向角 φ 。
然后，用公式 d =|x sin(φ)-y cos(φ)| 计算直线到圆心的垂直距离。
当 d≤1 时说明直线与单位圆有交点，只对这种情况进行计算。
当 d＜1/2 时说明直线被单位圆截得的弦长大于√3 。
这样，你就可以算出当直线与圆有交点时，截得弦长大于√3 的概率。
我编程序计算的结果是：共作了 1000000 次直线，与圆相交的直线有 1172 条，
其中截得弦长大于√3 的直线有 598 条，算出概率为 0.51023891 。

“做法三”：
用语句 1000*(2*RND()-1) ，1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
用语句 1000*(2*RND()-1) ，1000*(2*RND()-1) 取 B 点的坐标 u 和 v 。
（实际上应该在全平面中取 A、B 两点，但实际上这是不可能的，只能近似
  在一个 (-1000,1000)×(-1000,1000) 的正方形中取。）
然后，用公式 d =|xv-yu|/√((x-u)^2+(y-v)^2) 计算直线到圆心的垂直距离。
当 d≤1 时说明直线与单位圆有交点，只对这种情况进行计算。
当 d＜1/2 时说明直线被单位圆截得的弦长大于√3 。
这样，你就可以算出当直线与圆有交点时，截得弦长大于√3 的概率。
我编程序计算的结果是：共作了 1000000 次直线，与圆相交的直线有 1541 条，
其中截得弦长大于√3 的直线有 796 条，算出概率为 0.5165477 。