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梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC,BD 交于 E,AB=AC,BE=BC,∠CAD=15°,求证 AD=BD,AD⊥BD

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发表于 2017-7-5 19:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
网络搜题,见一名诗博客,将此题作为征解。并说没找到纯几何证法,我思考二天,也没找到纯几何证明特贴出求教。
如下图,梯形ABCD中,AB平行于CD,AC交BD于E点,满足条件:AB=AC,BE=BC;角CAD=15度。
求证:三角形ADB是等腰直角三角形。(即AD=BD,角ADB=90度)



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发表于 2017-7-6 00:45 | 显示全部楼层

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发表于 2017-7-6 00:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-7-6 01:20 编辑


1,设∠ACB=a
2,∠DCA=∠CAB=∠DBC=180 - 2a
3,∠CDB=∠DBA=a - (180 - 2a)=3a - 180
4,∠DAC=15
5,∠ADB=180 - ∠DCA - ∠CDB - ∠DAC=165 - a
6,我们有
   1= sinACBsinCDBsinDBAsinDAC/(sinDCAsinCABsinDBCsinADB)
=sinasin(3a - 180)sin(3a - 180)sin15/(sin(180 - 2a)sin(180 - 2a)sin(180 - 2a)sin(165 - a))
    解得a=75


不明之处,详见《求所有角的角度》。

点评

谢谢老师指导  发表于 2021-11-22 21:09
 楼主| 发表于 2017-7-6 12:06 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2017-7-5 16:57
1,设∠ACB=a
2,∠DCA=∠CAB=∠DBC=180 - 2a
3,∠CDB=∠DBA=a - (180 - 2a)=3a - 180

这是三角做法。不过这种做法不能说不对,而且象是通法。我的意思是有没有使用辅助线之类的综合推导。
我考虑了函数方法,用唯一性也做得出来。几何追求纯几何方法,也许只是奢望。
发表于 2017-7-6 19:45 | 显示全部楼层
估计得借助高等几何。
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发表于 2017-7-7 10:16 | 显示全部楼层
这个题是先有了结果后有的条件,如果按照已知条件去作图,怎么也不能达到题设的图形。关键是这个题是唯一的,在作图的时候首先要注意15°角,同时你不可能再注意到两个相似的等腰三角形的顶角是30°,因为这个30°是未知的,所以这个题是逆向出题,不符合自然的规则顺序,故不容易证明。大家看是不是这个道理?
 楼主| 发表于 2017-7-7 14:31 | 显示全部楼层
你的想法和我一样。这是一个单值函数的特殊点的问题。
发表于 2021-11-22 08:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-22 19:22 编辑

各位网友!可有好方法?几何追求纯几何方法,也许只是奢望。

\(记∠EAB=2\theta\ \ \ ∠ECB=90^\circ-\theta\ \ \ ∠EBA=90^\circ-3\theta\ \ \ ∠EDA=75^\circ+\theta\)

\(\frac{\sin(∠EAD)\sin(∠EBA)\sin(∠ECB)\sin(∠EDC)}{\sin(∠EAB)\sin(∠EBC)\sin(∠ECD)\sin(∠EDA)}=\frac{\cos(75^\circ)\cos(3\theta)\cos(\theta)\cos(3\theta)}{\sin(2\theta)\sin(2\theta)\sin(2\theta)\sin(75^\circ+\theta)}=1\ \ \ 电脑解得\theta=15^\circ\)

谢谢 denglongshan!“1”是说:分子=分母,详见《求所有角的角度》。

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如何解得?  发表于 2021-11-22 19:19
1=AB?  发表于 2021-11-22 19:00
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发表于 2021-11-22 08:33 | 显示全部楼层
构图很熟悉,不知有没有办法。@kanyikan

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发表于 2021-11-22 10:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-11-22 19:47 编辑

或许更经典的构型是这个(然则折腾了一天,依旧徒呼奈何):

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谢谢 uk702!搞懂了,这15°还是需要的,没有15°的话,答案太多了。  发表于 2021-11-22 18:20

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王守恩 + 20 还需要15°吗?

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