梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC,BD 交于 E，AB=AC，BE=BC，∠CAD=15°，求证 AD=BD，AD⊥BD

王守恩

denglongshan 发表于 2021-11-24 21:28
对三角长期不用，不熟悉了，你的方程软件有七个解，美国很了不起

软件出来就是一个解呀？(天山草那样上传我不会用)

Solve[{Cos[3 a]/Sin[2 a] == Cos[\[Pi]/12 - a]/Sin[\[Pi]/12 + 2 a], \[Pi]/3 > a > 0}, {a}] // FullSimplify

{{a -> \[Pi]/12}}

\(要想避开\cos(3\theta)也可以，关键就是如何多样化。\)

\(S_{△ABD}=S_{△ABC}\)

\(S_{△ABD}=AD*DB*\sin∠ADB=\sin(2\theta)*\frac{\sin(15^\circ)\cos(\theta)}{\sin(2\theta)}*\cos(15^\circ-\theta)\)

\(S_{△ABC}=AC*AC*\sin∠BAC=\sin(15^\circ+2a)*\sin(15^\circ+2a)*\sin(2\theta)\)

Solve[{Sin[2 a]*(Sin[\[Pi]/12] Cos[a])/Sin[2 a] Cos[\[Pi]/12 - a] == Sin[\[Pi]/12 + 2 a]^2 Sin[2 a],
\[Pi]/3 > a > 0}, {a}] // FullSimplify

{{a -> \[Pi]/12}}

多一句：因式分解,你还手工吗？高次方程,你还手工吗？三角方程,这是趋势(软件不会出错)，我们只有适应。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-25 09:32
软件出来就是一个解呀？(天山草那样上传我不会用)

Solve[{Cos[3 a]/Sin[2 a] == Cos[\/12 - a]/Sin[\/ ...

\(复杂一点，我们需要的是一条路(手工一下子化简不了，有软件罩着，可以慢慢来，一切会有的)。\)

\(S_{△ADC}+S_{△ABC}=S_{\square ABCD}\)

\(S_{△ADC}=DA*DC*\sin∠ADC=\sin(2a)*\sin(15^\circ)*\sin(15^\circ+2\theta)\)

\(S_{△ABC}=BA*BC*\sin∠ABC=\frac{\sin(2\theta)\cos(15^\circ-\theta)}{\cos(3\theta)}*\frac{\sin(15^\circ)\cos(3\theta)}{\sin(2\theta)}*\cos(\theta)\)

\(S_{\square ABCD}=AC*BD*\sin∠AEB=\sin(15^\circ+2a)*\frac{\sin(15^\circ)\cos(\theta)}{\sin(2\theta)}*\cos(\theta)\)

Solve[{Sin[2 a] Sin[\[Pi]/12] Sin[\[Pi]/12 + 2 a] +
Sin[2 a] Cos[\[Pi]/12 - a]/Cos[3 a]* Sin[\[Pi]/12] Cos[3 a]/Sin[2 a]*Cos[a]
== Sin[\[Pi]/12 + 2 a]*Sin[\[Pi]/12] Cos[a]/Sin[2 a] Cos[a], \[Pi]/3 > a > 0}, {a}] // FullSimplify
{{a -> \[Pi]/12}}

\(S_{\square ABCD}=AD*DC*\sin∠ADC+AD*AB*\sin∠DAB\)\(=\sin(2\theta)\sin(15^\circ)\sin(15^\circ+2a)+\sin(2a)\sin(15^\circ+2a)*\sin(15^\circ+2a)\)

\(S_{\square ABCD}=AC*BD*\sin∠AEB=\sin(15^\circ+2a)*\frac{\sin(15^\circ)\cos(\theta)}{\sin(2\theta)}*\cos(\theta)\)

Solve[{Sin[2 a] Sin[\[Pi]/12] Sin[\[Pi]/12 + 2 a] + Sin[2 a] Sin[\[Pi]/12 + 2 a] Sin[\[Pi]/12 + 2 a]
== Sin[\[Pi]/12 + 2 a]*Sin[\[Pi]/12] Cos[a]/Sin[2 a] Cos[a], \[Pi]/3 > a > 0}, {a}] // FullSimplify
{{a -> \[Pi]/12}}

谢谢 denglongshan！应该是12.1

數海泛舟

三角函數，解析幾何一般可解決所有平面幾何證明，計算

uk702

有解无解是一个很复杂的问题（第一个提出三等分角无解的人无疑要被拉出去打一顿），不仅需要高超的技巧，更需要高超的理论。不过想到复杂如莫利定理还是给出了纯几何的证法，我觉得本题应该会有纯几何的证法，虽然我拿它没办法。

Ysu2008

我将此题发在纯几何吧，没几分钟就被吧主删了，可见此题有多难。

波斯猫猫

思路（三角法）：按主贴图，设∠CAB=x（0＜x＜π／3），AB=AC=a，AD=1。

由条件，在△ACD中，由正弦定理有1/sinx=a/ sin(x+π/12) ,               

在△ABD中，由正弦定理有1/cos(3x/2)=a/cos(π／12-x/2)，

故，a= sin(x+π/12)/sinx=cos(x/2-π／12)/cos(3x/2)，      

变形，积化和差后又和差化积，整理得，sin(x+π/12)/sin（x/2）=cos(π／12)/cos(2x) 。  （1）

令f(x) =sin(x+π/12)/sin（x/2），g(x)= cos(π／12)/cos(2x) ，

则f(x)′ =-sin(π/12)/[2（sin（x/2））∧2]＜0，在（0，π／3）内是减函数；

g(x)ˊ=2sin（2x）cos(π／12)）/[cos(2x)∧2＞0，在（0，π／3）内是增函数。

故方程（1）在（0，π／3）内至多有一解，经观察知其恰有一解x=π／6（若是判断△ABD的形状就难了，

这是比到结论找适合的条件）。从而△ABD是等腰直角三角形。

注：本理念建立角的关系，避免了繁所的代数关系或方程的运算。16楼不能断定g(x)ˊ＞0。欠妥！

波斯猫猫

首先应确定∠CAB=x在（0，3）内，这就为x的唯一性奠定了基础。关键是要求得x=π／6（这里是易经过观察得到）。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-25 10:23
\(复杂一点，我们需要的是一条路(手工一下子化简不了，有软件罩着，可以慢慢来，一切会有的)。\)

\(S_ ...

\(看22楼，手工可以有：8\cos(15^\circ)\cos(\theta)\sin^3(\theta)+8\sin(15^\circ)\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)=\sin(15^\circ)\)

\(电脑可以出来\theta=15^\circ,手工出不来15^\circ，我怀疑电脑里是不是有我们不知道的公式？\)

uk702

这个不知道能不能算是一个有效证法（证明的严谨性和充分性是显然有问题的，不想究了）。