三个数 的和一定，如何证明相等的时候，乘积最大？

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如何证明
三个数 的和一定，如何证明相等的时候，乘积最大？

三个数 的积一定，如何证明相等的时候，和最大？

simpley

如果不是民科，就要表述严谨。

xfhaoym

如何证明
三个数 的和一定，如何证明三个数相等的时候，这三个数乘积最大？

这是个定理：a1+a2+a3+.......an>=n(a1+a2+a3+.......an)^1/n
当a1=a2=a3=.......=an时，a1*a2*a3*.....*an=最大
反过来a1+a2+a3+.......an＝最小

具体证明有点麻烦（我这就有），看看有关的书吧。

天元酱菜院

1） 首先要明确是在正数范围内来讨论。
即：题目应该是 三个正数的和一定，当这三个数相等时乘积最大。

反例1： -1,-2,-3 其乘积-6 就大于 -2，-2，-2的乘积（-8）
反例2：某x大于0，  -4x, -2x, 9x 相乘的结果54x^3, 就大于x^3
反例3： -2，-1, 3 三数相乘为6， 而他们的和是0， 0/3还是0， 三个0相乘还是0,是小于6的。

还可以有一些有意思的反例。

天元酱菜院

2） 某N个正数的和一定，当这N个数相等时乘积最大。
证明： 用数学归纳法
A） 当N=2时，即证明（a+b）(a-b）<= a^2 (这里，a>b>=0)
      而这是显然的，因为，上式左边= a^2-b^2


（说明：对于两个正数，某K1某K2，不妨设K1>=K2>0，取(K1+K2)/2命名为a，取（K1-K2）/2命名为b， 就有K1=a+b; K2=a-b;  a>b>=0）

天元酱菜院

B)假若命题对K已得证。即：某K个正数的和一定，当这K个数相等时乘积最大 已得证。那么对于K+1情况证明如下：
对于某K+1个正数，先取出其最大的数某a.  取剩下各数求算术平均值b. (由于a是其中最大者，显然a>=b)
再取(a-b)/(K+1),命名为c（显然c>=0）  于是，a=b+(K+1)c ; 于是这K+1个正数的算术平均值是：
（a+Kb）/(K+1)=b+c

除去a以外的K个正数，依据归纳假设，它们的乘积不大于b^K
于是，这K+1个正数的乘积不大于a* b^K
我们剩下的任务就是证明a*b^k不大于(b+c)^(k+1)
由于a=b+(K+1)c， 所以a*b^K=b^(K+1)+(K+1）c*b^K 而这恰恰等于（b+c）^(k+1)展开式中的前两项。由于b为某些正数的算术平均值，b>0无疑，前述已证c>=0, 所以，（b+c）^(k+1)展开式的其他项均非负。所以a*b^k不大于(b+c)^(k+1)得证。

天元酱菜院

这个定理的一般形式是：N个正数的算术平均值不小于其几何平均值。
（A1+A2+A3+....+AN）/N >=(A1*A2*A3*.....*AN)^(1/N)

angel_phoenix99

柯西定理的特例，通过构造函数很容易证明的

f(x)=∑(ai-bix)^2(i从1到n)，由于完全平方数是非负的，f(x)≥0

展开，合并成一元二次多项式
因此判别式DELTA≤0

获得柯西定理:
∑ai^2∑bi^2≥∑(aibi)^2(ai/bi=定值时等号成立)


特例，令ai=1，bi^2=ci


即可获得∑ci≥n(∏ci)^(1/n)

不要拿负数作反例，前提就是非负数

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

simpley

陆教授上面的证明很好，可以再补充一下ak-X>0，二次项就必大于它的一部分展开式。