由peano 公理界定的自然数都是有限数。

elim

定义： 称一个数 x 有限，如果存在某自然数 n 使得 |x| < n.

定理1： 每个自然数都是有限的。
证明：   任取自然数 k, 令 n = k' (k 的后继), 则有自然数的序公理， k < k' = n.
             由有限的定义，k 有限。
推论：  不存在无穷大自然数。

定理2： 对任意给定的自然数 k, 存在自然数 n 使得 k < 10^n.
证明：  由定理1，存在自然数 n  使得 k < n < 10^n.

推论1： 任何自然数的十进制整表示都只有有限位。
推论2： 1000... (无穷多个0）不是自然数，不是有限数。


注记： 上述结果仅对 peano 意义上的自然数成立。人们可以另搞自然数公理，使之包含”无穷大自然数“。但是对这样的”广义自然数“，由peano 自然数公理得出的算术运算律，三岐性，数论性质等等就未必成立，相对于这种”广义自然数系“的可数性也未必等价于经典理论的可数性。事实上，不难证明广义自然数系是经典意义下不可列的。

jzkyllcjl

你的 “推论1： 任何自然数的十进制表示都只有有限位。” 与你的 1=0.9999……” 是不是矛盾的？。0.99……中的9的个数是不是有限的？

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-7-15 19:57
你的 “推论1： 任何自然数的十进制表示都只有有限位。” 与你的 1=0.9999……” 是不是矛盾的？。0.99…… ...

自然数十进表示中10的最高指数是有限数．据阿基米德原理，由此可得实数的十进表示中，小数点左边只有有限位．

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-7-16 10:07
老头以为0.999... 是自然数．

你说错了，我说的是：无尽循环小数0.999……中的9的个数数起来是自然数的无穷数列1，2，3，……n,n+1,……，它是趋向于无穷大的数列， 是永远数不完的，它不是你说的有限的；这个无尽小数的研究离不开潜在的增长着的无限，，随着位数的增大，得到的是以有尽小数为项无穷数列0.90.99，0.999，……，这个数列中的数 始终是小于1的有限数， 你说的有限应当是指的 这些数。这个有限离不开对这个无穷数列的研究。你1楼的“”推论1： 任何自然数的十进制表示都只有有限位。“  没有说清楚这些问题。 应当说： 1的十进制表示0.999……中的小数位是无限的，它表示 的数都是有限的。

elim

老头连 0.999... 不是有限小数也不知道了。呵呵

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-7-16 22:56
老头连 0.999... 不是有限小数也不知道了。呵呵

你1楼的“”推论1： 任何自然数的十进制表示都只有有限位。“  是错误的，是混淆是非的 。 应当说： 1的十进制表示0.999……中的小数位是无限的，它不是定数，它是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的简写，数列中数都是有限的，这个数列是数列性质的变数，它们都小于1，这个数列的极限才是1。

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-7-16 18:09
你1楼的“”推论1： 任何自然数的十进制表示都只有有限位。“  是错误的，是混淆是非的 。 应当说： 1的 ...

要证明推论不对，就的否定原定理。弄到最后，jzkyllcjl 就要反逻辑。

任何一个自然数的十进制表示中，小数点左边只有有限位是被证明了的真理。你 jzkyllcjl 是推翻不了的。