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[这个贴子最后由cjsh在 2011/07/11 04:20pm 第 1 次编辑]
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度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
设X为一个集合,一个映射d:X×X→R。若对于任何x,y,z属于X,有 (I)(正定性)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y; (II)(对称性)d(x,y)=d(y,x); (III)(三角不等式)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) 则称d为集合X的一个度量(或距离)。称偶对(X,d)为一个度量空间,或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
编辑本段基本举例
设X为任一非空集合,定义映射d:X×X→R如下 (1)对于X中任意元素x, d(x,x)=0; (2)如果x,y是X中两个不同元素,则d(x,y)=1. 则这样定义的d满足(I)(II)(III),是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。
http://baike.baidu.com/view/454418.htm
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拓扑空间(topological space),赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构,使之能引入微积分中的极限和连续的概念,这样的结构就称为拓扑,具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种,如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
在微积分学中,实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质: ①任意个开集的并是开集 。 拓扑空间
②有限个开集的交是开集。 ③R′及空集是开集。对任一非空集合X,若X的一个子集族J 满足: ①J中元的任意并在J中。 ②J中元的有限交在J中。 ③X、空集在J中,则称J是X的一个拓扑,J中的元称为开集,X连同拓扑J称为一个拓扑空间,记为(X,J)。 注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑(由度量决定的开集)。 于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量,使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致;详见度量化定理。
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聚点 在复变函数里:有点集E,若在复平面上的一点z的任意领域都有E的无穷多个点,则 称z为E的聚点。 拓扑学基本概念。 设A是拓扑空间 X 的子集,x∈X。如果 x 的每个邻域都含有 A\{x} 中的点,则称 x 为 A 的聚点(point of accumulation)。 等价的定义: 点 ξ 的任何邻域内都有集合 S 中的无穷多个点,称 ξ 为 S 的聚点。 在分析学中可将之具体定义为: 如果对于任意给定的δ>0,点P的去心邻域U°(P,δ)内总有集E中的点,则称P是E的聚点。
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邻域
数学分析定义
以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a) 邻域
。设δ是任一正数,则开区间(a - δ, a + δ)就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作U(a, δ),即U(a, δ)={x|a -δ < x < a + δ}。点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径。 点a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,表达方法是在U上标一个小的0。有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域,把开区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。
编辑本段拓扑学的定义
设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集,点x∈A。如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域。若A是开(闭)集,则称为开(闭)邻域。[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=-
http://baike.baidu.com/view/30631.htm?func=retitle
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内部或开核
设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集。A的所有内点的集合称为A的内部或开核,记作A°。 开核的性质 1.若A是B的子集,则A°是B°的子集。 2.A°是包含在A中的所有开集的并集,是包含在A中的最大开集。 3.A°=A当且仅当A是开集。 4.(A∩B)°=A°∩B°。 5.(A∪B)°包含(A°∪B°)。
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开集
开集是拓扑学里最基本的概念之一。 假设X是一个集合, 如果存在一系列X的子集合 (a∈I, I是下标集)满足下面的条件,那么每个这样的子集就称为X的一个开集,X称为拓扑空间: (1)X=∪U_a (即X是所有U_a的并); (2)X中任何两个这样的子集合的交也落在I中;(即a∈I,b∈I,a∩b∈I) (3)X中任何多个这样的子集合的并也落在I中。(即a∈I,b∈I,a∪b∈I) 在实数轴上,最常见的开集就是开区间。 定义 设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A(即对于每一个a∈A,存在实数ε>0使得B(a,ε) A,则称A是度量空间X中的一个开集. 例 实数空间R中的开区间都是开集. 设a,b∈R,aa},(-∞,b)={x∈R|x0,B(x,ε) [a,b]都不成立.类似地,半开半闭的区间 (a,b]={x∈R|a-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=-
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