正项级数和的几何化

elim

chaoshikong

诺S'<S，则由上确界的定义，S'<Sn，对某n成立！~

这句话如何理解啊，，忘指点，谢谢！~

elim

chaoshikong 发表于 2017-7-19 23:05
诺S'

如果 S' 小于上确界，那它就不是上界，所以就有集合里的某元素冒出它的头，也就是 S'< Sn 对某 n 成立。所以比上确界小的数都没有资格称为级数和。上确界有做和的资格，小于它的数没有资格，所以上确界就是级数和。

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-7-20 06:56
如果 S' 小于上确界，那它就不是上界，所以就有集合里的某元素冒出它的头，也就是 S'< Sn 对某 n 成立。 ...

数列{Sn}的极限或对应的数的集合的上确界 S 不是无穷项的和。S是个趋向性质的数。现行级数理论中的许多等式 都具有虚假性 例如：莱布尼慈级数表达式1-1/3+1/5-1/7+……=π/4 就是如此。这个表达式给人二个假想，①好像无理数π能绝对准算出来了，但实际上不能；②好像无穷次加法运算可以进行，实际上不能。根据无穷级数和的定义，无穷级数的理想和是其前n项和的序列的极限，因此上式应当改写为：1-1/3+1/5-1/7+……o→π/4  或 1-1/3+1/5-1/7+……~π/4。只要取右端的足够多项的部分和，就可以得到得出 的足够准确的近似值。例如：在误差界为1/11 的要求下，得到π/4 的足够准确的近似值为：1-1/3+1/5-1/7+1/9=789/945 。

elim

1. chaoshikong: 明白了，如果有S'小于上确界，说明此数列不是无穷数列，是有限数列，既然是无穷，如给出了S'，则必有Sn>S'

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定义：设 E &#8834;&#8477;, 若有 M&#8713;&#8477; 使 (x&#8713; E &#8658; x ≤ M), 则称 E 上有界， M 是 E 的上界。
若 M 是 E 的最小上界，则称 M 是 E 的上确界。 记作 M = sup E.

由上确界的定义知道，若 S' < S = sup {Sn | Sn 是 a1+a2+... 的部分和}, 则
S‘ 不是 {Sn | Sn 是 a1+a2+... 的部分和} 的上界， 故有某 n 使 S' < Sn 因而
S' 不是 a1+a2+... 的和。

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-7-20 02:03
数列{Sn}的极限或对应的数的集合的上确界 S 不是无穷项的和。S是个趋向性质的数。现行级数理论中的许多等 ...

线节 [0, S], 含线节 [S(n-1),S(n)], 后者的长度为 a(n). 这样的线节没有重叠的内部，所以
a1+a2+... ≤ S. 但 S' < S &#8658; &#8707;n (S' < Sn), 即小于 S 的都不是级数和。 所以 a1+a2+... = S.

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-7-20 14:13
线节 [0, S], 含线节 [S(n-1),S(n)], 后者的长度为 a(n). 这样的线节没有重叠的内部，所以
a1+a2+... ≤ ...

所有 S(n)= a1+a2+...+a(n) 都小于S，后者是{S(n)}的上确界，也是对应数列的极限，但无穷项相加的运算无法进行，所以等式  a1+a2+... = S不成立；成立的只能是 lim Sn=S. 以 Sn =0.99……9（n个9）为项的无穷数列的极限或对应点集的上确界是1， 但0.9+0.09+0.009+……的无穷项相加无法进行。0.9+0.09+0.009+……=1的等式不成立。 应当该写为： 0.9+0.09+0.009+……→1 。
现行级数理论中的许多等式 都具有虚假性 例如：莱布尼慈级数表达式1-1/3+1/5-1/7+……=π/4 就是如此。这个表达式给人二个假想，①好像无理数π能绝对准算出来了，但实际上不能；②好像无穷次加法运算可以进行，实际上不能。根据无穷级数和的定义，无穷级数的理想和是其前n项和的序列的极限，因此上式应当改写为：1-1/3+1/5-1/7+……o→π/4  或 1-1/3+1/5-1/7+……~π/4。只要取右端的足够多项的部分和，就可以得到得出 的足够准确的近似值。例如：在误差界为1/11 的要求下，得到π/4 的足够准确的近似值为：1-1/3+1/5-1/7+1/9=789/945 。

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-7-20 09:14
所有 S(n)= a1+a2+...+a(n) 都小于S，后者是{S(n)}的上确界，也是对应数列的极限，但无穷项相加的运算 ...

无法进行是你老头的问题，我要的这些数的和已经找到，它等于{S(n)}的上确界。

高等数学就是jzkyllcjl 不懂的数学部分。也是他反对不了的那部分数学。原因是程度太低，思想僵化。中假大空极左思潮的毒太深，还有就是太笨。

elim

主贴对无穷多个正数能不能‘拢’成一个定数的问题给出了非操作性的全面的回答。具体说来，就是无穷多个正数在一定条件下(部分和的集合有上界)几何地自动‘拢’成一个线节，这个线节的长度是一个定数。

真正的问题在于，所论线段的‘右端’是否存在，是否是定数？即 sup{S(n)} 是否存在，是否是实数？

对这个问题作出彻底的回答，就是建立实数理论的动机：确立实数公理，构建实数模型以证明满足公理的数系的存在，证明满足实数公理的数系彼此同构(逻辑上没有分别，换汤不换药)。得出的结论是：具有最小上界性的阿基米德有序域存在，并且在代数同构的意义下唯一。把这样的数域叫作实数域，其元素叫作实数，那么有理数域是实数域的子域，有界数集{S(n)}在其中必有最小上界。

这方面的详细论证，参见帖子【连续统构造】。

好了。我们看到，在现行数学的框架中，对正项级数和作出几何化的解读导致了等式 a1+a2+... = sup{S(n)} = lim S(n).

把 a1+a2+... 理解为逐项累加在现行数学的框架中没有有限算法(所谓有限算法，就是有限次基本运算的一个序列)。然而没有有限算法的东西比比皆是，√2，π，e 都没有。它们的逻辑地存在和意义，可被‘几何化’并不因此就丧失，它们能被十进小数表示也并不受制于有限算法。没有有限算法的东西可以非构造地通过分析得到。这就是数学分析对初等数学的突破。把这种突破叫作捏造，虚假等等，是对数学的反动。输在了起跑线上。

elim

谢芝灵的几何化这个概念，经过适当的精确化，指每个正实数 x, 对于一个线节 [0,x]。可以说近乎废话。但他的本意是要用几何化来否定正项级数和是实数的。主贴证明了他的企图不能得逞：正项级数和是一个实数。