求1/x+1/y=1/z的所有整数解

xfhaoym

求1/x+1/y=1/z的所有整数解

费尔马1

解:x=zy/（y-z）
y=kz/（k-z）
z=nk/（n+k）
例如n为3的倍数，
k=2n的时候，x  y  z为整数解。
只要z=nk/（n+k）能除尽，x，
y一定是整数。

drc2000回来

例题：求  1/x+1/y=1/3  整数解
解：既  xy-3x-3y=0
整理得   (x-3)(y-3)=10
考虑10只能分解成10*1   5*2      1*10
（另外负数情况对应3种，一共6种）
解为（13，4）
          （8，5）
           （4，13）

drc2000回来

由此得到一般解。
设   z^2+1  可分解成  pq
则有解：
x=p+pq
y=q+pq

费尔马1

1/2520+1/280=1/252
1/1260+1/315=1/252
1/840+1/360=1/252
1/630+1/420=1/252
1/504+1/504=1/252
类似以上有无穷多
1/a+1/b=1/y
1/c+1/d=1/y
1/e+1/f=1/y
……………………
有无穷多对倒数的和都等于1/y

费尔马1

这道题只考虑正整数比较有意义，大家看是不是？
此题得不到直接代入有关数字就能得到一组确定的解，我的公式也只能试验代入，直到满足z=nk/（n+k）为整数。
但是，这个是通式。

解:x=zy/（y-z）
y=kz/（k-z）
z=nk/（n+k）
例如n为3的倍数，
k=2n的时候，x  y  z为整数解。
只要z=nk/（n+k）能除尽，x，
y一定是整数。

xfhaoym

我也作了一下，是不是完全的解不知道．

王守恩

费尔马1 发表于 2017-7-24 08:19
这道题只考虑正整数比较有意义，大家看是不是？
此题得不到直接代入有关数字就能得到一组确定的解，我的公 ...

先把题目搞得简单一点。
1，这道题只要考虑正整数就可以。
出现负数有5种可能，我们一一否定。
（-）+（-）=（-）可以用（+）+（+）=（+）代替
（+）+（-）=（-）可以用（+）+（+）=（+）代替
（+）+（-）=（+）可以用（+）+（+）=（+）代替
（-）+（-）=（+）可以用（+）+（+）+（+）=0
（+）+（+）=（-）可以用（+）+（+）+（+）=0
规则是把一个数从等号这边移到那边，改变了+ - 号

ataorj

1/(b(b+c))+1/(c(b+c))=1/(bc)

ataorj

1/(ab(b+c))+1/(ac(b+c))=1/(abc)