求 1/567，2/567，3/567，4/567，…，567/567 中所有最简分数（既约分数）相加之和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

答案是162。
解法1。常规解法。
(1+2+3+4...+566)/567 - (3+6+9+12+15+...+564)/567 -
(7+14+21+28+35+...+560)/567+(21+42+63+84+105+...+546)/567
=160461/567 - 53298/567 - 22680/567+7371/567 = 91854/567=162
解法2。利用欧拉函数。567的欧拉函数=567×2/3×6/7=324  324/2=162

王守恩

王守恩 发表于 2017-7-28 17:35
答案是162。
解法1。常规解法。
(1+2+3+4...+566)/567 - (3+6+9+12+15+...+564)/567 -

分母是3的最简真分数和是1，3的欧拉函数是2。
分母是4的最简真分数和是1，4的欧拉函数是2。
分母是5的最简真分数和是2，5的欧拉函数是4。
分母是6的最简真分数和是1，6的欧拉函数是2。
分母是7的最简真分数和是3，7的欧拉函数是6。
分母是8的最简真分数和是2，8的欧拉函数是4。
分母是9的最简真分数和是3，9的欧拉函数是6。
............

一般地：
任意正整数n的欧拉函数是A，则分母是任意正整数n的最简真分数和是A/2。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面给出的详细解答，其实就是王守恩的解法 1 ：

luyuanhong

下面是网友 YAG 看了第 5 楼的解答后，在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

請問王老師 這個解法是甚麼意思?

利用欧拉函数。567的欧拉函数=567×2/3×6/7=324  324/2=162

分母是3的最简真分数和是1，3的欧拉函数是2。
分母是4的最简真分数和是1，4的欧拉函数是2。
分母是5的最简真分数和是2，5的欧拉函数是4。
分母是6的最简真分数和是1，6的欧拉函数是2。
分母是7的最简真分数和是3，7的欧拉函数是6。
分母是8的最简真分数和是2，8的欧拉函数是4。
分母是9的最简真分数和是3，9的欧拉函数是6。
...........

fungarwai

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-7-30 09:37
下面是网友 YAG 看了第 5 楼的解答后，在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

請問王老師 這 ...

一般地，我们有：
正整数n的欧拉函数是A，则分母是n的所有最简真分数和是A/2。
1， 正整数n的欧拉函数：
      欧拉函数指的是小于等于n的正整数中，与n互质数的数目。
2， 最简真分数的数目：
      最简真分数的数目同样指的是小于等于n的正整数中，与n互质数的数目。
3， 对正整数n来说:
      欧拉函数=互质数的数目=最简真分数的数目。
4， 对正整数n来说：
      欧拉函数是明确的，这些数的和也是明确的。这些数的和=欧拉函数×n/2。
5， 对分母是n的最简真分数来说：
      分子的和=欧拉函数×n/2。
6， 则分母是n的所有最简真分数和=欧拉函数×n/2×1/n=A/2。

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 和 王守恩 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。