泰博定理三的证明

ataorj

泰博定理三的证明
泰博定理3: P,Q分别是任意三角形ABC的内切圆和外接圆的圆心,在BC上任取一点D，连AD。做两圆圆M和圆N，使它们与AD，BC和圆Q都相切。则M,N,P共线。[AD，BC为直线时结论还有其他成立情形,这里不考虑这个]
作图做法:[虚线都是角平分线,红线都是垂线]
1 坐标系上取点B(-1,0),C(1,0); y正轴上取点Q; BQ为半径做圆Q
2 圆O上另取一点A(e,f),连AB,AC,BC; BC上取一点D(d,0),连AD
3 做角B,C的平分线交点P,做P到BC的投影E,PE为其半径做圆P
4 做角ADB平分线m,做角ADC平分线n
6 过P做m垂线交BC于F,过F做BC垂线交m于M,MF为半径做圆M
  过P做n垂线交BC于G,过G做BC垂线交n于N,NG为半径做圆N

求证:
圆M和AD,BC,圆Q都是相切的(关键是证MQ=OB-MF)
圆N和AD,BC,圆Q都是相切的
P,M,N共线[等同于(MF-PE)/FE=(PE-NG)/EG,也等同于(MF-PE)/MP=(PE-NG)/PN]
--------
证明:x,y分别表示横坐标,纵坐标.这里的线段长度都用正数表示.
下面求出若干点坐标,首先A(e,f),D(d,0);e,f,d视为已知量,f>0
Q(0,Qy)
而AQ=BQ,则e^2+(f-Qy)^2=1+Qy^2
Qy=(e^2+f^2-1)/(2f)
P(Px,Py)
三角形内心坐标公式((aAx+bBx+cCx)/(a+b+c),(aAy+bBy+cCy)/(a+b+c))
这里是((ae-b+c)/(a+b+c),(af)/(a+b+c))
而a=BC=2,b=AC=((e-1)^2+f^2)^0.5,c=AB=((e+1)^2+f^2)^0.5
Px=(2e-((e-1)^2+f^2)^0.5+((e+1)^2+f^2)^0.5)/(2+((e-1)^2+f^2)^0.5+((e+1)^2+f^2)^0.5)
Py=2f/(2+((e-1)^2+f^2)^0.5+((e+1)^2+f^2)^0.5)
F(Fx,Fy)
∠PFE=∠MDH [H点仅仅为表示垂线HD,没其它含义]
Sin∠HDA=Cos∠ADC=|e-d|/AD=|e-d|/((e-d)^2+f^2)^0.5,这里暂时只考虑e>=d
Sin∠MDA=Cos∠ADN=((Cos∠ADC+1)/2)^0.5
Sin∠MDA=Cos∠MDH*Sin∠ADH+Cos∠ADH*Sin∠MDH
可得Sin∠PFE=Sin∠MDH=(略),可得Fx,而d已知,Sin∠MDF又易得,则M坐标可得.
其余原理简单,略
---------
体会,坐标计算主要使用三角函数.如果想得到角平分线方程,则显然与倍角半角公式有关.

denglongshan

谢谢你，这次你的构图是对的，而且可能是我见过的最简单的。不明白为什么标题用泰博定理三的证明？可能是笔误？不过你还是没有详细的计算结果，估计是计算太麻烦的缘故。

ataorj

这个定理是连续三个，你为何不搜索下。我原本的作图也是正确的。我还认为是你认为我不符合你的题意'直线'，会遗漏答案吧，所以我没吱声。
关于计算，确实麻烦，我仅仅确认一个思路的细节在原理上可实现即可，完全地确证，我一般是不在意的，除非特别重要。
另外，关于角平分线方程，还有一个思路，就是平分点分角对边成的两个线段之比等于角两边之比。据此可得到平分点的坐标。

denglongshan

天山草：
          他的构图比李涛博土的还更简单，如果D是一过A点，共轭比是u^2的直线与BC相交得到，则剩下的各点都容易获得。
很久不用Mathematica了，比较生疏，有空劝迎你试试。
         其它坛友也可以用其它软件算算看。

denglongshan

搜了一下，原来泰博定理有三条，忘了，讨论的是第三条。

ataorj

P,M,N共线，也等同于MN=PM+PN

denglongshan

不知道哪里错误

ataorj

不知你是否如下：
圆M和AD,BC,圆Q都是相切的(证MQ=OB-MF即可)
有坐标后，这可能应该是最简单的。
我主题内容后来更新过的，包括更正有个好像是正弦求成了余切，也包括上面提示

denglongshan

设两圆的半径和圆心距分别是r1、r2、d，如果它们相切，则r1±r2=d,由于带根号，软件不好计算，就等价于证明r1^4+r2^4+d^4-2(r1^2×r2^2+r2^2×d^2+d^2×r1^2)=0.
不明白为什么标记4的哪行不等于0？我的证明包括D在BC延长线的情形。
下图是李涛博士的证明，注意他的构图与你的不同，我认为你的更好：

ataorj

同样都是加减法，为何三点一线成功了，相切不成功，难道其实不相切？
预期差值应当为0的话，实际和0相差多少？