休闲几何－三倍角

ccmmjj

这是在一个专业网站上看到的题目，要求用初中方法解答。那网站的做法太过复杂，看不到美感，特转贴于此，让网友同好试试。
如图，三角形ABC中，∠Ｃ是直角，∠BAE=∠ABD=30度，Ｄ、Ｅ分别在两直角边上。求证：∠CDE＝3∠CAE，　∠CED=3∠CBD.

cooooldog

你太小看人家小木虫了。
这个还可以： 居家、旅行必备的“三倍角正切公式”

其实就是 alober 的方法。

ccmmjj

cooooldog 发表于 2017-8-5 01:27
你太小看人家小木虫了。
这个还可以： 居家、旅行必备的“三倍角正切公式”

我哪敢小看小木虫。我会这么说，肯定是有简单漂亮的证明，只是按照惯例，题目要挂３天左右，才给出证明。至于三倍角公式之类代数方法，即不符题目要求，更非做纯几何的人所爱好。代数方法，非无可奈何，是不想领教的。

王守恩

  设∠CAE=15+A     ∠CDE=45+B        利用万能公式
    1=sin[30+(A - B)]sin(15+A)sin(105+A)/(sin[30 - (A - B)]sin(15 - A)sin(105 - A))   （1）
    为计算简便，可先取定A的值，可得对应B的值，B=3A      0＜A＜15
即方程（1）变成   1=sin(150+2A)sin(15+A)sin(105+A)/(sin(30+2A)sin(165+A)sin(75+A))     

题外话
1，先明确一点：只要能让方程（1）成立的数都是方程（1）的解。
2，就人类目前的水平，大家还在怀疑方程（1）解不了吗？！
    方程（1）非得是特殊数值才算是能解吗！？
3，当然，可以对方程（1）作些化简。
    但在计算软件高度发达的今天，我们应该侧重于列出方程。
4，一般地，1个大三角形分成3个小三角形，共是4个三角形，12个角。
     需要告知4个角，其余8个角均可由方程（1）得。
   本题只告知3个角，解法没有变，答案变成无数个了。
5，我们回到“三角函数”本源上来，“三角函数”追求的是三边的关系。
    我们不妨把“三角函数”看成是一个一个一个的长度。
  再一次谢谢boob先生！fungarwai先生！

ccmmjj

先看来源于小木虫的一个代数证明，这个证明虽写得很短，但其中的三角转换似乎没交代得很清楚。

再看一个楼上所说的漂亮代数证明，当然，那个正切三倍角公式是很漂亮的。来源于CSDN（计算机专业）博客。

最后还是小木虫上的纯几何证明，其正确性是没问题的。

至于我所说的简单漂亮的证明，再等一下吧。

ccmmjj

把我的证明写出来。这个题目还有些余味，有兴趣的同志可以嚼嚼。