ΔABC 中，BC=30 ，D 点在 BC 上，AD 与内切圆交于 P ，AP=1 ，PD=8 ，求内切圆半径 r

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

dodonaomiki

一开始，想到”特殊的“等妖三角形
不过，由于自己的愚笨，还是想不出思路


进而，考虑等边三角形
一算的话，发现AP=1是怎么也娶不到啦



并进一步的想到：要不试一试【非常矮扁の】等妖三角形试一试

dodonaomiki

我计算了一哈，
矮扁の等妖三角形，好像可以算出来！
但我不保证准确！




其实，后来我想，应该可以推广到不等边三角形那里去，
但我水平没有，
没法子加以推广


高手可以推广一哈

dodonaomiki

我发现：我做得不对！



我需要纠正

ccmmjj

这个题目，题设不清，本来是不想理它的，但是稍加改动，增加Ｄ是切点这个条件，仍不失为一个好题，因为不忍有遗珠之憾，仍将修改后的题目及解答写出。不过还是要请陆老师，问问ＹＡＧ同学此题的出处，有没有抄错或修订。

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

此题我估计确实是漏掉了 “D 是切点” 的条件，我已经发帖去问 YAG 了。

luyuanhong

下面是台湾网友 YAG 在 “陆老师的《数学中国》园地” 发表的一个回帖：

印象中D點就是圓跟BC的交點,D點是切點! 答案沒錯！

謝謝 ccmmｊj 老師

王守恩

ccmmjj 发表于 2017-8-7 04:56
这个题目，题设不清，本来是不想理它的，但是稍加改动，增加Ｄ是切点这个条件，仍不失为一个好题，因为不忍 ...

求助！ccmmjj老师！
可以把本帖的3条边，3个角找出来吗？
我们知道:  r=根号(180÷11)   可求得∠BAC=106.8772694
条件： AB=3+K     AC=33 - K     BC=30      余弦定理
30^2=(3+K)^2+(33-K)^2-2(3+K)(33-K)cos106.8772694
方程不好解。还有其他方法吗？
ccmmjj老师！请指点！

ccmmjj

王守恩 发表于 2017-8-9 07:20
求助！ccmmjj老师！
可以把本帖的3条边，3个角找出来吗？
我们知道:  r=根号(180÷11)   可求得∠B ...

难免要解一个二次方程，答案不漂亮，方程自然是不会舒服，你的计算我看过不少，大概是用计算软件辅助研究的，跟我这种图形构成的观念很不同。
我可以给你提供一个方法：假设ＢＤ＝x，作ＡＨ垂直ＢＣ于H，可以计算出ＡＨ＝9sinO,DH=9cosO，
sinO＝4/r=√(44/45)由上给出。然后ＢＨ＝x-9cosO，利用方程(3+x)^2=(x-9cosO)^2+(9sinO)^2,即AB^2=BH^2+AH^2
展开消去相关项，就得到一个一元一次方程：（６+18cosO）x=72,解出x=12/(1+3cosO)
取cosO=±√(1/45),分别代入解出x=15-3√5或x=15+3√5,然后ＡＢ＝18-3√5，ＡＣ＝1８+3√5

luyuanhong

下面是网友 YAG 看了楼上的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

請問 ccmmjj 老師和陸老師

這個定理完整敘述是? 紅色框框是甚麼意思?