已知 ΔABC 的面积为 3√15 ，两条中线长为 3、6 ，求第三条中线长度的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

答案是等于3√6吧。最小值等于6更漂亮。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 和 ccmmjj 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

王守恩 发表于 2017-8-9 05:15
1，三条中线可以把三角形分成6块，
中线6被分成2+4，
中线3被分成1+2，

1，三条中线可以把三角形分成6块，
中线6被分成2+4，
中线3被分成1+2，
中线3K被分成K+2K。
2，三条中线把三角形分成6块，每块的面积相等。
每块面积=3(根号15)÷6=(根号15)÷2    （1）
每块面积=1/2×2×2×sinA=2sinA          （2）
解得A=75.52248781    A=104.4775122(舍去)
3，在中线K把1/3三角形分成的2块中，
1/2×2×K×sinB=1/2×4×K×sin(A - B)    （3）
解得B=52.238756093
代入（3）得K=2.449489743，
答：第三条中线长度最大值3K=7.348469228

补充两点。
1，由舍去的A=104.4775122可求得K=2
2，化简方程（3）后得    sinB/sin(A - B)=2
解 sinB/sin(A - B)=2    我用的是笨方法，
具体可参考“一题极极限”中的“三项方程通用解法”。
渴望高手赐教通用解法。