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在直角三角形中,求证:X^2+Y^2=Z^2,有勾股数存在,X固定一个数,Y,Z,这两个数唯一的
勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以直角三角形斜边为半径画圆,在圆周X、Y轴座标上的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系,对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1,X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.
定义[1]: 若素数p≡1 (mod 4)
则 p=x^2+y^2
在此我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,x、y为三角形的两直角边.则斜边与两直角边的三角函数关系为x=p^(1/2)*Cos(α),y=p^(1/2)*Sin(α),又由于x,y是整数,那么我们称x为股函数元,记为Cg(p);称y为勾函数元,记为Sg(p);所以勾股函数和三角函数可直接变换.
引理1: 若素数p≡1 (mod 4)
则 p^2=(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
这是一勾股函数关系式.我们称Cg(2*p)为股函数,称Sg(2*p)为勾函数.
证明: 根据定义 p=x^2+y^2,那么有
p^2=(x^2+y^2)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2-y^2)^2+(2*x*y)^2
将 x= Cg(p),y= Sg(p)代入上式,得:
p^2=((Cg(p))^2-(Sg(p))^2)^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
=(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
故得证.
例1: 设p=5≡1 (mod 4),则5^2是勾股函数.
解: 5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合“勾三股四弦五”的勾股函数关系.
在这里我们先了解自然数N=p1*p2*…*pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数仅被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1: 若素数 p1≡p2≡1 (mod 4)
则 (p1*p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明: 因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
所以 p1*p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
=(Cg(p1)*Cg(p2)-Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)+Cg(p1)*Sg(p2))^2
或 p1*p2=(Cg(p1)*Cg(p2)+Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)-Cg(p1)*Sg(p2))^2
故 p1*p2=(Cg(p1±p2))^2+(Sg(p1±p2))^2
我们知道 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)*Cg(p))^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
又因为 Cg(2*p)=(Cg(p))^2-Sg(p)^2, Sg(2*p)=2*Sg(p)*Cg(p)
则 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2 =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
同理可得 (p1*p2)^2=(Cg(2*(p1±p2)))^2+(Sg(2*(p1±p2)))^2
故得证.
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