在直角三角形中，求证：X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，X固定一个数，Y，Z，这两个数

昌建

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数
X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，X固定一个数，Y，Z，这两个数唯一的
在直角三角形中有勾股数存在，由最小的一组勾股数，（3，4，5）组合的
证明略
希望：常宝玉老师别写出这个证明过程.

cwl

勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以直角三角形斜边为半径画圆,在圆周X、Y轴座标上的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.
定义[1]:  若素数p≡1    (mod 4)
则  p=x^2+y^2
在此我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,x、y为三角形的两直角边.则斜边与两直角边的三角函数关系为x=p^(1/2)*Cos(α),y=p^(1/2)*Sin(α),又由于x,y是整数,那么我们称x为股函数元,记为Cg(p);称y为勾函数元,记为Sg(p)；所以勾股函数和三角函数可直接变换.
引理1:  若素数p≡1  （mod 4）
则       p^2=(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
这是一勾股函数关系式.我们称Cg(2*p)为股函数,称Sg(2*p)为勾函数.
证明:  根据定义  p=x^2+y^2,那么有
   p^2=(x^2+y^2)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2-y^2)^2+(2*x*y)^2               
将  x= Cg(p),y= Sg(p)代入上式,得：
p^2=((Cg(p))^2-(Sg(p))^2)^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
    =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
故得证.
例1:  设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解:  5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合“勾三股四弦五”的勾股函数关系.
  在这里我们先了解自然数N=p1*p2*…*pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数仅被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1:  若素数 p1≡p2≡1  (mod 4)
则   (p1*p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明:  因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
所以 p1*p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
   =(Cg(p1)*Cg(p2)-Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)+Cg(p1)*Sg(p2))^2
或   p1*p2=(Cg(p1)*Cg(p2)+Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)-Cg(p1)*Sg(p2))^2
故   p1*p2=(Cg(p1±p2))^2+(Sg(p1±p2))^2
我们知道  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)*Cg(p))^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
又因为   Cg(2*p)=(Cg(p))^2-Sg(p)^2,  Sg(2*p)=2*Sg(p)*Cg(p)
则     ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2 =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
同理可得  (p1*p2)^2=(Cg(2*(p1±p2)))^2+(Sg(2*(p1±p2)))^2
故得证.

昌建

在直角三角形中，X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，三条边比例线段是不变的，三条边比例线段不能保持原来的比例线段，没有勾股数存在，这样说是否正确？固定一条直角边，延长的一条直角边，组成新直角三角形，延长的一条直角边和新直角三角形的斜边，它们这三条边不能保持原来的比例线段，因为垂直线段最短，所以固定一条直角边，延长的一条直角边，组成新直角三角形是没有有勾股数存在

changbaoyu

；求证：X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，X固定一个数，  Y，Z，这两个数唯一的
在直角三角形中，X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，
三条边比例线段是不变的，三条边比例线段  不能保持原来的比例线段，
没有勾股数存在，这样说是否正确？
固定一条直角边，延长的一条直角边，组成新直角三角形，延长的一条直角边和新直角三角形的斜边，
它们这三条边不能保持原来的比例线段，        因为垂直线段最短，
所以固定一条直角边，延长的一条直角边，组成新直角三角形是没有 有勾股数存在

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/29 02:34pm 第 2 次编辑]

下面引用由昌建在 2011/07/25 00:22am 发表的内容：
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数
X^2+Y^2=Z^2，有勾股数存在，X固定一个数，Y，Z，这两个数唯一的
在直角三角形中有勾股数存在，由最小的一组勾股数，（3，4，5）组合的
证明略
...

问题  当 x 给定时，要求正整数 y,z ，使得 x,y,z 成为一组勾股数 x^2+y^2=z^2 。
    这样的 y , z 是不是唯一确定的？

解答   y , z 并不是唯一的，可以有许许多多不同的解。
    一般来说，如果 x^2 可分解成两个不相等但同奇偶的正整数 a ,b 的乘积 x^2=ab ，
这时取 y=|a-b|/2 ， z=(a+b)/2 ，就有 x^2+y^2=(ab)^2+|a-b|^2/4=(a+b)^2/4=z^2 。
例如，设给定 x=60 ，就有：
（1）x=60 ，x^2=72×50 ， y=|72-50|/2=11 ， z=(72+50)/2=61 ，   60^2+11^2=61^2 。
（2）x=60 ，x^2=90×40 ， y=|90-40|/2=25 ， z=(90+40)/2=65 ，   60^2+25^2=65^2 。
（3）x=60 ，x^2=100×36 ，y=|100-36|/2=32 ，z=(100+36)/2=68 ，  60^2+32^2=68^2 。
（4）x=60 ，x^2=120×30 ，y=|120-30|/2=45 ，z=(120+30)/2=75 ，  60^2+45^2=75^2 。
（5）x=60 ，x^2=150×24 ，y=|150-24|/2=63 ，z=(150+24)/2=87 ，  60^2+63^2=87^2 。
（6）x=60 ，x^2=180×20 ，y=|180-20|/2=80 ，z=(180+20)/2=100 ， 60^2+80^2=100^2 。
（7）x=60 ，x^2=200×18 ，y=|200-18|/2=91 ，z=(200+18)/2=109 ， 60^2+91^2=109^2 。
（8）x=60 ，x^2=300×12 ，y=|300-12|/2=144 ，z=(300+12)/2=156 ，60^2+144^2=156^2 。
（9）x=60 ，x^2=360×10 ，y=|360-10|/2=175 ，z=(360+10)/2=185 ，60^2+175^2=185^2 。
（10）x=60 ，x^2=450×8 ，y=|450-8|/2=221 ，z=(450+8)/2=229 ，  60^2+221^2=229^2 。
（11）x=60 ，x^2=600×6 ，y=|600-6|/2=297 ，z=(600+6)/2=303 ，  60^2+297^2=303^2 。
（12）x=60 ，x^2=900×4 ，y=|900-4|/2=448 ，z=(900+4)/2=452 ，  60^2+448^2=452^2 。
（13）x=60 ，x^2=1800×2 ，y=|1800-2|/2=899 ，z=(1800+2)/2=901 ，60^2+899^2=901^2 。