几何一探－最弱条件的等腰三角形证明

ccmmjj

如图：这是从国外网站上看到的题目，从我先前所知的东西，它的条件上相对较弱。证明不简单。原网站挂了多天求解，竟然没有答案。本人想了两天，觉得可以分享，第一：它的结论是成立的，第二，它的证明是巧妙的。如有兴趣的网友，可以试证一证。

chaoshikong

因为<AEC=<1+<2+<3，<ADB=<2+<3+<4
所以<1=<4
所以AB=AC
思路就是这样，详细过程懒得写。。。

chaoshikong

看来没这么简单，想了很久，只得出来∠3-∠1=∠2-∠4，其它的还是没有头绪！

天元酱菜院

分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD,所以，CE/BC = BD/BC
可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)

以下积化和差？

王守恩

天元酱菜院 发表于 2017-8-15 22:20
分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD,所以，CE/BC = BD/BC
可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3 ...

天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A       1+2=3+4=90-A
         1=90-A-2     4=90-A-3
2，设BD=CE=a       BC=b
a/sin(1+3)=b/sin(1+2+3)   1=asin(1+2+3)/[bsin(1+3)]   (1)
a/sin(2+4)=b/sin(2+3+4)   1=asin(2+3+4)/[bsin(2+4)]   (2)
3，综合(1)，(2)
  1=sin(1+2+3)sin(2+4)/[sin(2+3+4)sin(1+3)]
    =sin(90-A+3)sin(2+90-A-3)/[sin(2+90-A)sin(90-A-2+3)]
    =cos(A-3)cos(A+3-2)/[cos(A-2)cos(A+2-3)]
4，试解方程1=cos(A-3)cos(A+3-2)/[cos(A-2)cos(A+2-3)]
     当2=3时，方有解。

天元酱菜院

王守恩 发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A       1+2=3+4=90-A
         1=90-A-2     4=90- ...

接力回来：

设<3-<2=s,
楼上王守恩的第4点： 1=cos(A-<3)cos(A+<3-<2)/[cos(A-<2)cos(A+<2-<3)]
成为：cos(A-<2+<2-<3)cos(A+s)=[cos(A-<2)cos(A-s)]
        cos[(A-<2)-s]cos(A+s)=cos(A-<2)cos(A-s)
两边分别积化和差并整理：
       cos(2A-<2) + cos(<2+2s) =cos(2A-<2-s) + cos(<2 -s)
当s 不足以大到涉及周期问题时， 要让上式成立，只能有s=0
即<2=<3, 于是，<1=<4, 于是 三角形等腰。

ccmmjj

虽然写了很多，但作为证明，还是不够。

chaoshikong

又错了，此贴做废！

ccmmjj

我把证明公布。

denglongshan

假设∠2=x,∠3=θ，其中一个结果是x=θ，还有另外几个结果无法解释。