几何一探－最弱条件的等腰三角形证明

天元酱菜院

jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 22:17
我举的例子说明楼主的说理不充分够。 事实是：请你 按照我举的例子画画图，再做出BD，的两个三角形ΔBC ...

曹老的例子站不住脚。
楼主在二楼的证明中写的非常清楚。 【比较两三角形： /  BD=CE   /  ∠3 >∠2  / BC=CB  / 可见 ...... 】

曹老给了一个莫名其妙的例子，
人家两边分别对应相等的条件不见了，  然后来个120角对应某个边，小于30度对应某个边。

你让人家怎么辩？  我认为曹老不该采取这么不严肃的态度。这不儿戏嘛。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-18 15:33
曹老的例子站不住脚。
楼主在二楼的证明中写的非常清楚。 【比较两三角形： /  BD=CE   /  ∠3 >∠2  /  ...

你提的意见有道理。我提的例子也不是没有道理，这个命题的目的是证明三角形等腰，因此不能在画出等腰三角形下去证明。 我欢迎你出的意见。对chaoshikong提出的意见我也欢迎。

Ysu2008

证法巧妙。

jzkyllcjl

Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj2017 8，16 日说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”然后Ccmmjj2017 8，17 也又贴出了先把图形画作等腰三角形的证明，对这个证明网友谢芝灵贴出 “这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中）才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的”的点评意见。天元酱菜院网友又贴出点评说；“楼主的证明无懈可击。 楼主说： 在三角形DBC与BCE中，若有【BD=CE; 角3>角2；BC=CB】; 则有 CD>BE。 很清楚，很明白。 对这个过渡非议其实等同于对余弦定理的非议”。这两个点评说明：Ccmmjj 的证明没有把问题说到家，没有根据余弦定理说明或证明“∠3＞∠2 得CD＞BE”。也有网友指出：“如果各有两边对应相等，则，夹角较大者第三边较大”的道理为Ccmmjj辩护，但这也说明Ccmmjj没有把问题说到家。更重要的问题是：这个问题是一个要求证明它是等腰三角形的命题,不能在事先画出等腰三角形之下去证明。需要先进行底角不能为钝角的证明。事实上，我们可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上再做BD=CE, D在AC上,此时的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD中，可以算出：∠3 〉∠2，且∠3的对边CD大于∠2对边BE；没有矛盾。问题出在，笔者提出的三角形，不能满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件。总之，Ccmmjj 这个证明也存在说理不够的缺点。证明它是等腰三角形之前，不能从它是等腰三角形出发, 所以这些几何证明都不是圆满的证明。

chaoshikong

jzkyllcjl 发表于 2017-9-19 15:12
Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj2017 8，16 日说“虽然写了很 ...

根据SAS可以推出两三角形全等，那么其推论
两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的对边大于A'的对边，

可以把这些条件移入直角坐标系中来证明

jzkyllcjl

chaoshikong 发表于 2017-9-19 12:00
根据SAS可以推出两三角形全等，那么其推论
两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的 ...

你的这个想法好！ 你可以证明。我支持你，我考虑过，这是一件可以证明的定理。

2268493827

三角形的面积跟角度三角形的底和高是直接关系。

jzkyllcjl

     chaoshikong  对你说的 “两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的对边大于A'的对边”，我说过，“你的这个想法好！ 你可以证明。我支持你，我考虑过，这是一件可以证明的定理。”
但 你的点评，我不同意，因为 ccmmjj 的 帖子 没有 说到家，你说他有这个意思，但他 并没有说明，也没有事先 证明这个 需要的定理。  

jzkyllcjl

笔者首先对Ccmmjj介绍的问题，进行分析，提出它是现行初等几何中命题的逆命题的概念。事实上，根据等腰三角形的性质，可以证明：当D是AC边上任一点时， 以BD为长度，可在AB 边上做出一点E，使CE=BD，此时，∠1+∠2=∠3+∠4 成立，这就是初等几何中应有的原命题，而Ccmmjj介绍的 在CE=BD，∠1+∠2=∠3+∠4 成立条件下，求证AB=AC的命题就是上述原命题的逆命题。此外，在等腰三角形性质的性质下，除了可以推出逆命题的条件外，还可以推出：BE=CD，推出底角相等,但这个命题没有提出这个条件，这可能把这个命题叫做最弱条件的等腰三角形的原因。因此,根据上述最弱条件逆命题的性质, 证明这个逆命题时,不能先把这个三角形画成等腰三角形作为辅助工具,不能使用等腰三角形的任何其它已知性质,例如不能应用底角相等的性等的性质去证明。由于楼主的证明用到了 等腰三角形底角相等的性质，所以楼主的证明是不完善的。

jzkyllcjl

Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj于2017, 8，16 日说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”：然后Ccmmjj在2017 8，17 也又贴出了一个证明.这个证明,可以说是:先把三角形ΔABC图形画作等腰三角形再作辅助线的证明，辅助线的做法是,平移BE至DG,连接CG、EG，得平行四边形BDGE，等腰三角形ΔCGE。 他知道：证明中不能把三角形ΔABC看成等腰说∠B=∠C， 但他根据ΔCGE等腰说∠EGC=∠ECG也是不能容许的，然后他在不妨假设BE〉CD之下，得出∠1 〉∠4，∠3 〉∠2，再比较ΔBDE与ΔBEC 有条件：BD=CE ∠3 〉∠2， BC=CB得出与假设BE〉CD矛盾的CD〉BE。 于是假设BE〉CD不成立，同理CD〉BE也不成立，只有BE=CD，最后得出AB=AC的结论。对这个证明网友谢芝灵8月24日贴出 “这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中）才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的”的点评意见。天元酱菜院网友9月18日又贴出点评说；“楼主的证明无懈可击。 楼主说： 在三角形DBC与BCE中，若有【BD=CE; 角3>角2；BC=CB】; 则有 CD>BE。 很清楚，很明白。 对这个过渡非议其实等同于对余弦定理的非议”。这两个点评说明：Ccmmjj 的证明没有把问题说到家，没有根据余弦定理说明或证明“∠3＞∠2 得CD＞BE”的论断。也有网友指出：“如果各有两边对应相等，则，夹角较大者第三边较大”的道理为Ccmmjj辩护，但这也说明Ccmmjj没有把问题说到家。更重要的问题是：这个问题是一个要求证明它是等腰三角形的命题,不能在事先画出等腰三角形，也不能在证明中应用任何等腰三角形性质去证明，但在Ccmmjj的证明中不仅画出的三角形ΔABC可以看作的是等腰的，而且证明∠1 〉∠4时，用到了等腰三角形底角相等的性质。还有，证明这个命题时，需要先进行底角不能为钝角的证明。事实上，可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上再做BD=CE, D在AC上,此时的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD中，可以算出：∠3 〉∠2，且∠3的对边CD大于∠2对边BE；没有矛盾。问题出在，笔者提出的这个三角形，不能满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件。但是不是可以在这个三角形做出：既满足BD=CE,又满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件的点D与E呢？ 是不是存在满足这两个条件的其它∠B不等于∠C的三角形呢？这是证明Ccmmjj 这个问题时，必须说清楚的问题。总之，论坛上所以这些几何证明都不是圆满的证明。为此，笔者于 2017-9-1根据自己的“几何学中的点、线、面、平行公理都需要使用极限概念、勾股定理也是极限性、理想性关系的思想”，提出了可以说“基本不使用(但不是绝对的)图形说明的”,而使用变数与微积分学中极值概念下的函数、导数证明的方法，但笔者贴出的解题证明，也有错误的地方，经天元酱菜院等网友认真研究修改后，得出了现在笔者认为比较严谨的证明。