数学解题思维例

haizhou · 发表于 2006-4-13 20:08

AB为圆O的直径，圆O1内切于圆O及AB于点C，DE垂直于AB且与圆O1相切交圆O于D，交AB于E。求证：BC=BD

haizhou · 发表于 2006-4-14 20:10

图片

珠穆亚纳 · 发表于 2006-4-14 21:57

这样就清楚了。是道好题。

haizhou · 发表于 2006-4-19 20:30

一定有高手做出了此题。

珠穆亚纳 · 发表于 2006-4-19 21:36

此题与http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1282&show=0
中所转来的几何题异曲同工。可以互相印证。

747 · 发表于 2006-4-20 12:04

O为大圆(R)圆心，O1为小圆(r)圆心，CO==Sqrt(R^2-2Rr) OE==Sqrt(R^2-2Rr)-r
BD==Sqrt(AB*BE)==Sqrt(2R*(R+Sqrt(R^2-2Rr)-R))==BC
证毕

haizhou · 发表于 2006-4-20 21:13

方法略显复杂,可以更简单的证明。

haizhou · 发表于 2006-4-21 18:54

此题可以推广到更一般的情况：AB为圆O的直径，圆O1内切于圆O,BC切圆O1于点C，DE垂直于AB且与圆O1相切交圆O于D，交AB于E，则BC=BD。

haizhou · 发表于 2006-4-25 19:19

设圆O1与圆O相切于点F，BF与圆O1相交于G，连接BF，OF，O1G，可以证明O1G平行于AB，又因DE与AB垂直，故DE与圆O1相切于G，因角CFB等于角GCB，故三角形CFB相似于三角形GCB，因此BC^2=BF*BG。连接AD，由角DFB=角DAB=角EDB得三角形DFB相似于三角形GDB，进一步得BD^2=BF*BG。由BC^2=BF*BG得BC=BD。

wangyangkee · 发表于 2010-6-6 15:52

采用激---酱---犟---将法，为俞先生鼓气，，，
欺世盗名的网上数学家，理直气壮的俞氏蠢货

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