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无尽小数与实数关系的应有的改革意见与十点说明

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发表于 2017-8-16 11:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-5 03:37 编辑

对于无尽小数与实数理论问题,网上十年的探讨是有益的。现在做以下十点说明。
现行数学教科书,大都使用余元希等学者的《初等代数研究》中 “称 十进小数α=a0.a1a2……an……   实数。 ”的定义。这个实数定义的实质是使用了“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点定义,这个定义是不圆满的、不完善的,从联系实际应用来看,必须把无尽小数看作康托儿实数理轮中基本数列。关于无尽小数的提出,,笔者提出了下边的例子。由于线段或其它物体的绝对准三等分无法做到,所以笔者称分数1/3为理想实数,为了寻求1/3的十进小数表达式,需要在十进小数制度下进行1被3除的除法运算,这时,第一步得到1/3的针对误差界1/10的不足近似值0.3,与过剩近似值0.4,第二步得到1/3的针对误差界1/10^2的不足近似值0.33,与过剩近似值0.34,对这两步进行分析,可以看出,这个除法的每一步都是余1的重复循环计算,是永远除不尽的工作, 只能分析的得出:如果无限进行下去,可以得到针对误差界序列{1/10^n}的不足近似值无穷数列{0.3,0.33,0.333,……}与过剩近似值无穷数列{0.4,0.34,0.334,……},这两个数列都是康托儿实数理论中的基本数列,根据数列极限定义,这两个数列的极限都是1/3。其中前一个数列可以简写为0.333……,也可以依照习惯称它为无尽小数,但根据前边叙述,它不是一个定数而是无穷数列性质的变数,变数不能等于定数,所以现行教科书中的等式0.333……=1/3 不成立;成立的应当是极限性等式lim n→∞{0.3,0.33,0.333,……}=1/3 或写作limn→∞ 0.33……3(n个3)=1/3 或写作limn→∞ 0.33……=1/3 或写作0.333,……→1/3;也可以写作全能近似等式0.333,……~1/3 后者表示一系列近似等式  1/3≈0.3;1/3≈0.33;1/3≈0.333;……。根号2与圆周率的无尽小数也是如此。 下边提出无尽小数与实数理论的十点说明。
   说明一:a0.a1a2……an……   是永远写不到底的事物,它不是定数,它是随着小数点后的数字的无限增加而增大着的变数;如果不把它分解为提出它的无穷数列:a0.a1, a0.a1a2, a0.a1a2a3,…… , a0.a1a2……an,……  就没有用处,分解之后的这个数列的通项 a0.a1a2……an 是实数α的准确到1/10^n的以十进位有尽小数(有理数的一种)表示的不足近似值,在无尽小数永远写不到底的事实下,近似值是必须使用的。至于这个数列,它是康托尔实数理论中的以有理数为项的基本数列,这个数列的极限才是实数α,从这个数列中可以找到满足任意小误差界的实数α的近似值,所以,应当称这个数列为实数α的全能近似值数列。所以,笔者称:无尽小数表达式a0.a1a2……an……   是康托儿基本无穷数列:a0.a1, a0.a1a2, a0.a1a2a3,……的简写。
说明二:根据十进小数是分母为10,100,1000,……自然数之类的分数的定义,表达式a0.a1a2……an……不是十进小数,因为:它的分母不能表示为 10,100,1000,……自然数。如果一定要把它表示为分数,那么它的分母就不是自然数集合N中自然数,而必须是 非标准分析中高级非标准算术模型*N中的无限大自然数,笔者认为:自然数集合N中的自然数是无穷多的、是无上界的,这个性质与非标准分析中高级非标准算术模型*N的提出是不相容的。所以,不能称表达式a0.a1a2……an……为十进小数。在自然数集合N中的自然数是无穷多的、是无上界的性质下,就可以说:表达式a0.a1a2……an……为无尽小数。小数点后的数字依次对应于自然数1,2,3,……,n,n+1,……的、以有穷自然数为项的无有终了的、无有穷尽的数列;而且,也因为这一点,无尽小数不是定数;也不是十进小数,而是以有尽位十进小数为项的无穷数列 。
说明三:仅仅写上几个或几十个数字 加上……,不算确定的实数表达式。例如,有人写出的表达式4.277323.......,就不能是确定的实数。事实上,如果把 这个表达式后边…… 看作 无限循环的9,则他的表达式的极限是有尽小数 4.277324, 如果把 这个表达式后边…… 看作1后边加上 无限循环的9 ,则他的表达式的极限是有尽小数4.2773232; 也可以提出它的极限是无理数的情形。总之,对 ……的不同的意义,就有不同结果。必须知道:所有无尽小数a0.a1a2……an…… 必须知道它是针对确定的实数α与误差界序列{1/10^n}的,通项  pn/10^n(pn为正整数)满足条件  pn/10^n<α≤ (pn+1)/10^n, 即 满足条件 ∣pn/10^n-α∣≤ 1/10^n, 的 有尽小数pn/10^n为项项的无穷数列{pn/10^n}的简写; 它的极限才是实数。
说明四:笔者认为实数理论是反映现实数量大小及其关系的理论;虽然现实数量的大小具有可变性,但在足够小变化可以忽略不计的情况下,可以认为它们的大小是确定的。 为此,笔者提出的实数定义是:定义11(理想实数定义): 现实数量的大小(包括现实线段长度)的绝对准表达符号叫做理想实数(简称为实数)。例如,一个线段长度的三分之一,每一份的长度可以用有理数1/3表示;实数中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数。例如:以1位边长的直角三角形的斜边长可以用√2表示,这个符号就是无理数;直径为1的圆周长可以用π表示,这个符号也是无理数,这个符号还表示任意圆的圆周长L与其直径D的比,所以又称它为圆周率。
不能认为:实数是建立在无尽小数概念之上的数字,不能认为:有了无尽小数之后,才有这些实数。只从无尽小数表达式认识实数的方法,由于无尽小数只能写出前几位后加点点点,这样就会产生许多误解。例如:有人计算无理数 e×905414851152557371÷783415613826524536 时得到的前32位小数3.1415926535897932384626433832795与圆周率的前32位一致;计算分数103993/33102得到前九位小数 3.14159265与圆周率的前九位一致,他们把算到的数加上点点点的表达式,仅仅是表面上与圆周率的无尽小数表达式一致,但深入研究起来,它们是不一致的。所以就会有把其它无理数或有理数误认为圆周率的错误见解。
说明五,从以上分析,还应当知道:现行数学教科书中的实数等于无尽小数的表达式都是错误的。因为,变数不能等定数,例如:等式1/3=0.333……,π=3.14159365……都是错误的,它们改为极限性表达式等式1/3=lijm0.333……,π=lim3.14159365……;或全能近似相等的表达式等式1/3~0.333……,π~3.14159365……。关于符号~,它是康托尔用来表示等价基本数列的符号,等价数列的定义用到了任意小误差界的符号 ε ,因此,它可以表示在任意小误差界下都能从无尽小数的数列中找到对应实数的足够准近似值。
说明六:等号A=B,必须具有性质,从A能推出与之相等的数B,从B能推出与之相等的数A。但是从等式1/3=0.333……来看,由于分数1/3=0.333……3(n个3)+1/10^n,两端取极限,本来就应当是:1/3=n→∞ 时lim0.333……3(n个3);但是有人得到的是错误的等式1/3=0.333……, 因为:认真分析起来,式中的无尽小数是永远写不到底的事物,它不是定数,所以,这个推导结果不能成立。其次,使用数学归纳法研究,可以得到:对任意自然数n,n位有尽小数 0.33……3都不能等于左端的分数1/3,与等式1/3=0.333……成立矛盾。但在无尽循环小数表示无穷数列0.3,0.33,0.333,……的意义下,使用极限方法的等式1/3=lijm0.333……不仅消除了这个矛盾,而且从右端是数列极限的意义出发推出了左端。现行数学理论中,既把无尽循环小数0.333……看作无有穷尽的小数,又把它看作定数的做法本身就是一个不能容许的矛盾。附带说一下,现行无穷级数理论中的定义中提出的,当limSn=S 时,记S=U1+U2+……+Un+……的表达式也是不恰当的,应当在右端和式之前加上lim 的符号,表示需要把无穷次加法看作其前n项和序列的极限。
说明七:对数学分析中的莱布尼茨等式π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……+(-1^n•1/(2n+1))+……)的推导进行分析,这个等式也是有问题的。事实上,这个等式,可以是从数学分析中的arctanx的泰勒多项式取极限得到的马克劳林级数表达式, 所以,在这个等式的右端也应当加上n→∞ 与lim的符号。如果不这样,则由于上述等式右端是一个交错级数表达式,它永远不会等于左端的圆周率π。其次,根据上述等式与通用的等式π=3.14159365……,使用等号的传递性,可以得出等式4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……+)=3.14159265……,这个等式也有问题。事实上,由于对应于任意自然数n左端中括号内是一个交错级数,由于无穷次加法运算无法进行,需要计算它的前n项和,这个和的分母3•5•7•……•(2n+1)是个奇数, 而右端对应于n的数字的分母是10^n,是偶数,所以,对任意自然数n,两端都不会相等。现在,在笔者的需要把它们看作数列加上n→∞ 与lim的符号之后就可以把这个不等式变为真正的等式。 事实上,这时等式左端就需要使用从级数的前n项和序列进行研究,这个交错级数的前n项和的余项为的绝对值小于4/(2n+1),再根据圆周率的极限性等式π=lim3.14159365……以及无尽小数3.14159265……是康托儿基本数列简写来看,它的对应于n的十进小数的余项小于1/10^n ,故对任意小误差界ε,只要有自然数N,使n>N时, 4/(2n+1), 1/10^n 的和小于ε,两端的无穷数列就是等价的,此时它俩有共同的极限。而4/(2n+1), 1/10^n 的和等于1/(8n+4)+1/10^n,当n>1时,总小于 2/9n,只要N大于2/(9ε),就有4/(2n+1), 1/10^n 的和小于ε,于是两个数列等价,它们的极限相等,即当n→+∞时,两边的极限相同,都是圆周率π。但对任意自然数n,等式4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……+)=3.14159265……两边不相等;只有两端的极限值才是相等的。对于现行教科书中的等式π=4arctan1=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)与 π=3.1415926…… 都需要在右端的数字之前加上取极限的符号。所以,笔者认为,现行教科书提出的圆周率的这两个等式是不严肃的、不深入分析的结果,都需要改革。
说明八:上边的讨论涉及到两千多年来的实无穷与潜无穷两个观点的争论。王宪钧在他的《数理逻辑基础》中讲到:“实无穷论者认为,无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体,是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”, 康托儿认为“数学理论必须肯定实无穷”。笔者经过55年的研究之后认为:无穷二字的语文意义是无有穷尽、无有终了的意义,数学理论中涉及的无穷集合、无穷数列、无尽小数、无穷级数都是存在着一个无限延续法则而延续不到底的,只能是极限性质的、趋向性质的理想性事物。对于无尽小数的问题,前边已经做了叙述,限于篇幅,其它问题暂不讨论。但须指出:无穷与有穷、理想与现实、精确与近似都是相互依存的对立统一事物,恩格斯在《反杜林论》中也说过“杜林先生永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾,而且充满种种矛盾。无限纯粹是由有限组成的,这已经是矛盾,可是事情就是这样”。对立统一法则又是唯物辩证法的最根本的法则。“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争,决定一切事物的生命,推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾,没有矛盾就没有世界”。这样一来,唯物辩证法就是建立数学理论的根本法则。根据古代人民制造的自然数级数法则,与皮亚诺的继数公理,将自然数从小到大依次排列出来,得到基本的无穷数列:0,1,2,3,4,.5,6.,7,8.,9,10,.11,……,n-1,n,,n+1,……。这个无穷数列既具有无限延续下去的性质,又具有永远写不到底的、无法被列举完毕的、无法完成了的性质;笔者称这两个性质是自然数标准数列的两相性。这两个方面并不矛盾,因为前者是在时间无限的条件下提出的,后者是对有限时间讲的。这两个认识,就是:“既要有发展的理想,又要尊重现实”的对立统一观点。这个两相性说明:虽然可以说自然数无穷多的,但人们只能写出有限个自然数;而且能写出的自然数都是有限自然数。这个数列的广义极限是趋向性质的不可达到的非正常实数+∞;包含所有自然数的自然数集合就是其元素个数为+∞的趋向性质的不可达到的非正常集合。
说明九:笔者在数学中国网站上网十年,遇到了许多反对意见。这些意见可以分为两类,第一类是保护现有教科书中论述的意见,为了坚持无尽小数是定数,elim 网友把无尽小数0.333……看作无穷级数3/10+3/10^2+……+3/10^n+……,然后应用级数理论证明等式0.333……=1/3成立,但仔细分析一下,他们的证明过程,仍然存在着把这个无尽小数转化为无穷数列0.3,0.33,0.333,……取极限的过程;只不过他们使用了”掩盖这个过程得出等式0.333……=1/3成立”的论述。 这位网友后来又提出他的连续统结构公理体系,这个体系实质上是康托儿的实数理轮,笔者研究过康托儿的实数理论,笔者认为:康托儿的实数定义混淆了变量与常量、等价与相等的概念,而且他的理论也存在着联系实践不够的缺点。所以,笔者提出了如下的实数公理。
公理3(实数公理):每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列;除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数表达式,这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之,每一个康托尔基本数列(或称以有理数为项的柯西基本数列)都存在一个唯一的理想实数(简称为实数)为其极限,而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
至于他们批评笔者的话——“你是初小差班、老生;你程度太低,学不懂小学的等式1/3=0.333……与等式π=3.14159365……,更不会懂极限、级数理论,……”完全是无理性质的污蔑。
第二类是一位主张有无穷大自然数的学者,他认为:无尽循环小数 0.9 99……中的9的个数是确定的无穷大自然数,它与1的差是这个无穷大自然数减1个0之后为1的数0.00……1,笔者前边已经讲道:这种无穷大自然数的存在与自然数集合N的无上界性矛盾。这位学者提出的无尽小数是定数,将无尽小数0.333……对小数点反射过来得无穷大数……333.0 的说法是行不通的,因为:将它与无尽小数1.4142……,反射过来得的无穷大数……2414.1之间无法比较大小;无法说出后者的最大整数位是什么。两类反对意见都是把无尽小数看作定数的、缺乏联系实践进行辩证分析的意见。
说明十:笔者使用极限、趋向性、不可达到的说法代替康托儿的无穷集合是完成了的整体实无穷观点,可以消除连续统假设、三分律反例与芝诺悖论、三次数学危机的问题,但极限值的不可达到性质也是必须尊重的;全能近似也是理想的。与实数问题类似,对点、数轴、自然数集合、实数集合、导数都需要提出理想、近似、全能近似三类术语。研究连续性随机变量时,可以不研究理想点对应基本事件的概率,只研究以有理数为端点区间的概率;研究瞬时速度时,可以把极限性的导数看作是:时间量子(足够小时段)上的平均速度的近似值;进行角与直线二等分时,可以使用尺规画图方法画出有大小的分点。不讲误差的绝对准研究方法只是暂时脱离具体问题的理想研究阶段中可以实行的事情,例如:有理数的运算法则,使用理想实数π在不讲误差的墙况下,得出三角函数的导数;但绝对不讲误差的数学理论是不完善的;提出实际数学问题的数据与解决实际问题时,都必须使用足够准近似方法。
发表于 2017-8-16 11:41 | 显示全部楼层
老头的某些“正确”是他被数学社会抛弃的原因.无尽小数理论是老头的曾祖父时代就搞定了的事情.难怪jzkyllcjl 人被抛,书泡汤了.
 楼主| 发表于 2017-8-16 15:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-2 09:07 编辑
elim 发表于 2017-8-16 03:41
老头的某些“正确”是他被数学社会抛弃的原因.无尽小数理论是老头的曾祖父时代就搞定了的事情.难怪jzkyll ...


你的曾祖父有了你这个不会自己研究问题、不会看文章、不会批判分析的后代。
 楼主| 发表于 2017-8-16 15:39 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-8-16 03:41
老头的某些“正确”是他被数学社会抛弃的原因.无尽小数理论是老头的曾祖父时代就搞定了的事情.难怪jzkyll ...

你的曾祖父有了你这个不会自己研究问题、不会看文章、不会批判分析的后代。
发表于 2017-8-16 15:52 | 显示全部楼层
数学社会不是不看文章,是决不看你的烂书.你被数学社会抛弃不要怪你曾祖父.要作自我反省.
 楼主| 发表于 2017-8-16 19:24 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-8-16 07:52
数学社会不是不看文章,是决不看你的烂书.你被数学社会抛弃不要怪你曾祖父.要作自我反省.

无尽小数 0.999……是永远写不到底的事物,是把世界上都用上也写不完的数字表达符号,它不能是定数。它不能等于定数1.
发表于 2017-8-16 19:30 | 显示全部楼层
无尽小数是不必写到底的定数.
 楼主| 发表于 2017-8-18 09:26 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-8-16 11:30
无尽小数是不必写到底的定数.

第一,无尽小数 是写不到底的事物,你不写可以,但需要 把它看作康托尔基本数列 去研究它的趋向性的极限值。否则,它就无用了。
第二, 正确的等式是:
  1= 0.999……9(n个9)+1/10^n,  (1)"n → ∞ 时 不是“n = ∞时,在现行数学分析中,∞不是定数,不是正常数,因此 "1/10^n = 0.0...01" 与 1=0.999…… 都不成立。 成立的只能是 极限性等式:
1= n→∞ 时lim0.999……9(n个9)或写作 1= n→∞ 时lim0.999…… 。
第三: 自然数集合N中的自然数是无有穷尽、无有终了的,无有上界的;其中每一个自然数都叫做有限大自然数, 主张有无穷大自然数的学者认为:无尽循环小数 0.9 99……中的9的个数是确定的无穷大自然数,它与1的差是这个无穷大自然数减1个0之后为1的数0.00……1,笔者认为:这种无穷大自然数的存在与自然数集合N的无上界性矛盾;此外这位学者提出的无尽小数是定数,将无尽小数0.333……对小数点反射过来得无穷大数……333.0 的说法是行不通的,因为:将它与无尽小数1.4142……,反射过来得的无穷大数……2414.1之间无法比较大小;无法说出后者的最大整数位是什么。
发表于 2017-8-18 12:27 | 显示全部楼层
老头楼上的谬论不值得进一步批判,就凉在一边任其自生自灭吧.
 楼主| 发表于 2017-8-18 17:34 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-8-18 04:27
老头楼上的谬论不值得进一步批判,就凉在一边任其自生自灭吧.

你是否定正确的等式  1= 0.999……9(n个9)+1/10^n,  (1)
与"n → ∞ 时 不是“n = ∞时,在现行数学分析中,∞不是定数,不是正常数,因此 "1/10^n = 0.0...01" 与 1=0.999…… 都不成立。 成立的只能是正确的 极限性等式:1= n→∞ 时lim0.999……9(n个9)
或简写作正确 1= n→∞ 时lim0.999…… 。的正确论述是找不到理由的。
所以你只好说:“老头楼上的谬论不值得进一步批判,就凉在一边任其自生自灭吧“.其实这个话,你说过多次了,你还是不甘心。
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