如图 13 个小正方形，涂红黄蓝三色，相邻两格不同色，有几种涂法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

首先考虑9宫格，剩下4个可看作粘贴到9宫格上。当9宫格确定后，可以选择不同于粘贴点颜色的另两种颜色。由互相独立性，是乘法关系。即乘以2^4

9宫格可以编号，以所在的行、列，可以编为11,12,13;   21,22,23;  31,32,33。
由编号方式决定了相邻两格的奇偶性不同，所以，9宫格可以用2种颜色填满。

用2种颜色填的总数： 3选2，而后再决定谁占11位，即2*3=6种填法。

某种颜色只占1格情况， 可认为是在两种颜色填好后，第三种颜色的1次入替。因为回替只能用原来的颜色，
所以，这种情况的总数是：6*9=54 种      （入替行为，与原来填满行为，是两阶段行为，所以是乘法关系）

某种颜色占2格，其他颜色都在3格以上时，也可认为是入替。
  第一个替在角部，第二个可替在除去第一及相邻格外的其他位置。但需减掉替两角重复计算部分（4选二）
                              所以，此情况有6*（4*6-6）=108种   
                           （注释： 两个中有一个占中心，另一个只能在角，所以，中心点替换包含在此变化中）
  两个都不在角部，此时两个只能占边，相邻边使保护的角部不同于其他角颜色情况有4种，6*4=24种
                              对边，由连通性，是两种颜色各2格情况，后面统计。

两种颜色各2格情况：此时第三种5格，只能是四角和中心。颜色3选2，四边4选2， 即18种

三种颜色各3格情况：中心必定和2角同组，即4选2，中心确定后因为剩下的联通因素，使其只有1种选择。
                                 颜色全排列* （4选2）=36种

9宫格共有：6+54+108+24+18+36=246种填法

所以，本题共有246*2^4=3936种
（与陆老师统计的结果相同）

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。下面是此题的详细解答过程：

王守恩

大家看看！错在哪里了？
1，我们先填九宫格的第一行，有12（12=3×2×2）种填法。
2，再填九宫格的第二行，有4.5（4.5=（4+5）/2）种填法。
3，再填九宫格的第三行，有41/9（（4×4+5×5）/9）种填法。
4，再填外围4个数，有16（16=2×2×2×2）种填法。
5，合计12×4.5×41/9×16=3936种填法。

1，我们先填九宫格的第二行，有12（12=3×2×2）种填法。
2，再填九宫格的第一行，有4.5（4.5=（4+5）/2）种填法。
3，再填九宫格的第三行，有4.5（4.5=（4+5）/2）种填法。
4，再填外围4个数，有16（16=2×2×2×2）种填法。
5，合计12×4.5×4.5×16=3888种填法。

1，先填第一行，有3种填法。
2，再填第二行，有8种填法。
3，再填第三行，有18种填法。
4，再填第四行，有41/9种填法。
5，再填第五行，有2种填法。
6，合计3×8×18×41/9×2=3936种填法。

1，先填第三行，有48种填法。
2，再填第二行，有4.5种填法。
3，再填第四行，有4.5种填法。
4，再填第一行，有2种填法。
5，再填第五行，有2种填法。
6，合计48×4.5×4.5×2×2=3888种填法。