“可数”集元素的重排与康托对[0,1]“不可数的证明”

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/04/17 09:24am 第 2 次编辑]

　　　　　“可数”集元素的重排与康托对[0,1]“不可数的证明”

珠版主：
　　为什么点击查看无效？
找到原因了，只要再重新登录一次就可以了。

珠穆亚纳

下面引用由zhaolu48在 2006/04/16 02:55pm 发表的内容：
　　　　　“可数”集元素的重排与康托对“不可数的证明”
珠版主：
　　为什么点击查看无效？

应该是网络问题。我给你转成图片贴出来。

ouyanggeng

我认为康托是一个比较复杂的双重性人物。一方面他反传统----开创性地要从量上来认识无穷，这使他为人类的数学作出不朽的贡献；另一方面他无法摆脱他那个时代的传统无穷理论体系及相关思维方式的束缚-----现有数学中与无穷概念相关的错误俯拾即是（不仅仅是康托的错误，比如以芝诺悖论翻版的形式出现的那类内容）。太多了，人们对这类错误熟视无睹，几百、几千年来人类也就这样走了过来，并且练就了一套应付的办法（整个第二次数学危机的解决就是非常典型的例子）。

zhaolu48

谢谢版主：
把我的整篇文稿转成图象重帖一遍。

zhaolu48

辩证唯物主义的认识论是认识世界的最正的方法。
只是说用这种方法去认识世界，都能最终得到真理性的结果。
最初的认识结果可能与真理相去甚远，或者是错误的；哪怕是错误的结果，那也是在这一领域里开辟了认识真理的先河，那么他也是伟大的。康托就是如此。因此康托仍然是伟大的。
按这样的观点，康托范错误是正常的，而后来的研究者，都不去正确的认识康托的理论，说好听的是人云亦云，说不太好听的是鹦鹉学舌，再进一步也可以说是吠影吠声。在去年五月份之前，我也是这样吠影吠声的。

kenck

赵老师:
   你所列举的一位网友的证明就是利用区间套定理的证明.利用区间套定理的证明可能有错误,但不是你指出的那种错误.因为选第一个子区间的时候,就已经确定了第一个子区间不包含A1,选第二个子区间的时候是从第一个子区间里面选取,不包含A2,当然,因为第二个子区间在第一个子区间里面,当然也不包含A1,如此下去,选到第N个子区间的时候,就得到一个不包含{A1,A2.A3...An}的子区间,所以照这个思路,b就不属于{A1,A2,...An,....},这和{A1，A2，...An,...}的排序没有关系。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/04/17 02:20pm 第 1 次编辑]

kcnck先生：
　　用康托的观点，如果把一个“可数”集合
A＝{a1,a2,a3,…}重排，使
A的一个“可列”真子集
B＝{b1,b2,b3,…}，
排在前面，
形成的集合为
C={c1,c2,c3,…}
从形式上看是
A＝C　　还是　B＝C？
因为c1=b1,c2=b2,c3=b3,…
因此应该是B=C
这就是重排的结果。
证明中既然已经假设了[0,1]={a1,a2,a3,…,an,…}
那么在{a1,a2,a3,…,an,…}存在am∈[x1,y1]，令b1=am，即存在b1∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b1∈[x1,y1]，
同理存在
b2∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b2∈[x2,y2]
b3∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b3∈[x3,y3]
……　……　……　……　……　……　……
bn∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且bn∈[xn,yn]
从而lim(n→∞)bn=β
即β ∈{a1,a2,a3,…,an,…}。
因此令一个可列集的重排或任意排列是不能代表这个可列集自身的。
因此先生说的与重新排列没关系，是不成立的。
如果先生再看看我的
《元素重排与康托对[0,1]可数性的证明》就更能理解了。

kenck

赵老师:
   对不起我没有看你在本贴的全文,只是看到本贴的部分文字,这是因为网速太慢的原故,我每次打开这个贴子,总是有部分的图象打不开,所以读不到完整的文字,很烦.
   我就你前面所说的区间套证明和你对这个证明的说明这部分和你探讨一下,好吗?
你在回贴中提到:
"证明中既然已经假设了[0,1]={a1,a2,a3,…,an,…}
那么在{a1,a2,a3,…,an,…}存在am∈[x1,y1]，令b1=am，即存在b1∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b1∈[x1,y1]，
同理存在
b2∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b2∈[x2,y2]
b3∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且b3∈[x3,y3]
……　……　……　……　……　……　……
bn∈{a1,a2,a3,…,an,…}，且bn∈[xn,yn]
从而lim(n→∞)bn=β
即β ∈{a1,a2,a3,…,an,…}。*
因此令一个可列集的重排或任意排列是不能代表这个可列集自身的。
因此先生说的与重新排列没关系，是不成立的。
如果先生再看看我的
《元素重排与康托对[0,1]可数性的证明》就更能理解了。"
这一段我没读懂,因为区间套的方法,是构造一系列的区间,而不是找出那个{bn}的数列,我现在再探讨一下这个区间套的方法,请你就这个方法提出你的意见好吗?
1\首先假设[0,1]的实数可数,只要是可数,实数全体就可以列为{a1,a2,....an...}
2\将[0,1]等分三分,[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]然后观察a1落在哪一个区间,很明显,肯定有一个区间不包含a1,记这个区间为[x1,y1],可知[x1,y1]不包含a1
   再将[x1,y1]等分三分,(以下称这三个等分为子区间).观察这个子区间和a2的关系,如果a2包含在[x1,y1]内,则肯定有一个子区间不包含a2,记这个子区间为[x2,y2];如果a2不在[x1,y1]内,则任取一个子区间为[x2,y2],
   因为[x2,y2]在[x1,y1]内,所以[x2,y2]不包含a1,又因为上述选择[x2,y2]的方法,所以[x2,y2]也不包含a2.
   就这样一直三等分下去,可以选出[xn,yn]不包含{a1,a2,...,an},当n趋于无穷的时候,[0,1],[x1,y1],[x2,y2]....[xn,yn]就是一个区间套,根据区间套的定理,由于这个区间套的长度趋近于0,所以这些区间的交集最后是一个点b,这个点属于[0,1]区间内,
但又不属于{a1,a2,a3,...an,...}(因为每取一个区间套,就排除了一个{an}中的一个元素).这和题设相矛盾.
终于写完了,不知我写得清不清楚,赵老师能不能理解我的思路?真诚的希望赵老师对我上面所写的思路进行指导.这样的交流不够直接,不知道能不能和你通通电话,在电话上交流?

zhaolu48

“2\将[0,1]等分三分,[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]然后观察a1落在哪一个区间,很明显,肯定有一个区间不包含a1,记这个区间为[x1,y1],可知[x1,y1]不包含a1”
　　因为假设了[0,1]={a1,a2,a3,…,an,…}，又[x1,y1]是[0,1]的子集。
　　因此[x1,y1]也是{a1,a2,a3,…,an,…}子集，
　　那么[x1,y1]上的任意实数都属于{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　比如　x1∈{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　　　　y1∈{a1,a2,a3,…,an,…}。
“因为[x2,y2]在[x1,y1]内,所以[x2,y2]不包含a1,又因为上述选择[x2,y2]的方法,所以[x2,y2]也不包含a2.”
　　因为[x2,y2]是[x1,y1]的子集，[x1,y1]是{a1,a2,a3,…,an,…}子集，
　　因此，[x2,y2]也是{a1,a2,a3,…,an,…}子集。
　　从而
　　　　　x2∈{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　　　　y2∈{a1,a2,a3,…,an,…}。　
“ 就这样一直三等分下去,可以选出[xn,yn]不包含{a1,a2,...,an},当n趋于无穷的时候,[0,1],[x1,y1],[x2,y2]....[xn,yn]就是一个区间套,根据区间套的定理,由于这个区间套的长度趋近于0,所以这些区间的交集最后是一个点b,这个点属于[0,1]区间内,
但又不属于{a1,a2,a3,...an,...}(因为每取一个区间套,就排除了一个{an}中的一个元素).这和题设相矛盾.”　
　　“[xn,yn]不包含{a1,a2,...,an}”
　　但[xn,yn]包含于[0,1]，[0,1]={a1,a2,a3,...an,...}，
　　因此[xn,yn]包含于{a1,a2,a3,...an,...}，
　　从而
　　　　　xn∈{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　　　　yn∈{a1,a2,a3,…,an,…}。　
　　“所以这些区间的交集最后是一个点b,”
　　n→∞时，xn,yn也都趋于最后的一个点b，
　　因为　xn,yn∈{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　因此b∈{a1,a2,a3,…,an,…}。
　　“这个点”b“属于[0,1]区间内,但又不属于{a1,a2,a3,...an,...},这和题设相矛盾”
　　为什么会有b∈{a1,a2,a3,…,an,…}，“又不属于{a1,a2,a3,...an,...}”呢？
　　第一、原证明离开了假设，离开了假设，产生的矛盾，证明不了假设是错误的。
　　第二、用极限的办法证明，是否可以，没有相应的定理作根据。因此得到的结论是真是假是不能作肯定的回答的。也就是说从形式逻辑讲，这个演义推理缺少大前提作根据，这自身就是逻辑错误。
　　第三、按康托的观点，{a1,a2,a3,…,an,…}可以与它的真子集存在一一映射，
那么按这种区间套方法，可以说明，{a1,a2,a3,…,an,…}是把具有ai不属于[xi,yi]的性质的{a1,a2,a3,…,an,…}的子集排在“前面”了，在它的后面还有属于[xi,yi]的{a1,a2,a3,…,an,…}的子集{xn}、{yn}排在后面。
　　由此可知，用极限的方法证明可列集的性质是错误的。
　　从数学分析的聚点原理，区间[0,1]上的每一点，都存在于收敛于这一点的一个点列，因为
　　[0,1]={a1,a2,a3,…,an,…}，
　　因此收敛于b的点列{xn},{yn}是{a1,a2,a3,…,an,…}的子集，只不过它们是排在“后面”而已。
　　比如令bi=ai,那么有
　　{a1,a2,a3,…,an,…}={b1,b2,b3,…,x1,x2,x3,…,y1,y2,y3,…}
　　我也“终于写完了,不知我写得清不清楚”？你能否看清楚？
“真诚的希望赵老师对我上面所写的思路进行指导.”
我只是一个中学的老师，所仅有的一点知识基本上是自学的，因此知识也不一定系统，因此不敢说“进行指导”，也不过是互相切磋而已。
“这样的交流不够直接,不知道能不能和你通通电话,在电话上交流?”
写在帖子上如果看不清楚(主要是我写得不清楚)，在电话上就吏说不清楚了。要想更清楚，只有面对面的在黑板上“答辩”也许会达到目的。
　　如果您原意通过电话交流，可以把你的电子信箱地址告诉我，把我的电话号发到你的电子信箱上。我的电子邮箱是zhaolu48@163.com。

kenck

尊重赵老师的意见,在这里交流吧,虽然麻烦一些:
终于看清楚了,关键在这里:
n→∞时，xn,yn也都趋于最后的一个点b，
　　因为　xn,yn∈{a1,a2,a3,…,an,…}，
　　因此b∈{a1,a2,a3,…,an,…}。
　“这个点”b“属于[0,1]区间内,但又不属于{a1,a2,a3,...an,...},这和题设相矛盾”
　　为什么会有b∈{a1,a2,a3,…,an,…}，“又不属于{a1,a2,a3,...an,...}”呢？`
我认为b∈[xn,yn],是属于[xn,yn]而不是等于[xn,yn],[xn,yn]的长度是趋近于零而不是等于零,b是所有区间套的交集,在这个区间套中,所有区间套的交集是点b,而且点b是唯一的.b∈{a1,a2,a3,…,an,…}，是因为b∈[0,1];b又不属于(a1,a2,a3,...an,...}是因为b∈[xn,yn],即b是所有的[xn,yn]的交集,是[xn,yn]的共同元素.所以矛盾.
"第一、原证明离开了假设，离开了假设，产生的矛盾，证明不了假设是错误的。"
区间套的证明正是由假设推出矛盾的结果,怎么说是离开了假设呢?这个证明从头到尾都围绕着假设:[0,1]可数,并列为{a1,a2,...an...}.
"第二、用极限的办法证明，是否可以，没有相应的定理作根据。因此得到的结论是真是假是不能作肯定的回答的。也就是说从形式逻辑讲，这个演义推理缺少大前提作根据，这自身就是逻辑错误。"
区间套定理是一条定理啊,在数学分析中已经被证明过的了,其根据是数列的极限.
"第三、按康托的观点，{a1,a2,a3,…,an,…}可以与它的真子集存在一一映射，
那么按这种区间套方法，可以说明，{a1,a2,a3,…,an,…}是把具有ai不属于[xi,yi]的性质的{a1,a2,a3,…,an,…}的子集排在“前面”了，在它的后面还有属于[xi,yi]的{a1,a2,a3,…,an,…}的子集{xn}、{yn}排在后面。"
这段比效难懂,我还不太理解你的意思.因为不能看到你的全文,不好意思.但是[xi,yi]肯定不包含{a1,a2,...ai},每向后取一个区间,就排除一个ai.
　　
"由此可知，用极限的方法证明可列集的性质是错误的。
　　从数学分析的聚点原理，区间[0,1]上的每一点，都存在于收敛于这一点的一个点列，因为　　[0,1]={a1,a2,a3,…,an,…}，
　　因此收敛于b的点列{xn},{yn}是{a1,a2,a3,…,an,…}的子集，只不过它们是排在“后面”而已。比如令bi=ai,那么有=
　　{a1,a2,a3,…,an,…}={b1,b2,b3,…,x1,x2,x3,…,y1,y2,y3,…}
　　我也“终于写完了,不知我写得清不清楚”？你能否看清楚？"
聚点的定义被广泛应用于泛函分析中.你写的我都清楚了,区间套方法证明的关键是极限点b,它是所有区间套的交集,属于所有区间套而不是区间套的端点.我也不知道我写的你能否看清楚.