集合论与哥德巴赫猜想（四）

雷明85639720

（搠上贴）

科普读物
集合论与哥德巴赫猜想（四）
雷明编著
（二○一七年八月二十五日）

后   记

今天，我终于松了一口气。因为我把我三十多年来对四色问题、哥德巴赫猜想和多面体欧拉公式的研究，在论文的基础上改写成了两本科普读物——《四色问题与欧拉公式》（近百万字）和《集合论与哥德巴赫猜想》（约七万字）。自从一九八五年以来，我一直是在独自一人全部利用业余时间独的研究着几个历史数学难题——四色问题、哥德巴赫猜想和多面体欧拉公式。三十多年来我几乎把所有的业余时间、所有的精力用在了研究这些问题上。为了研究这些问题，不再走前辈们的老路，我重新学习图论和集合论。研究图顶点同化与顶点着色间的关系，研究图的三大要素——顶点、边和面间的关系；研究无穷集合与可数集合的特征。最终走自已创出的研究有无穷研究对象问题的新的方法和道路，不去对任何一个具体的图进行着色，也不研究具体的多面体，更不企图对某个充分大的偶数进行分解，就能证明自提出至今已有一百六十多年历史的地图四色猜测（或叫四色问题）和提出至今已有二百七十多年历史的哥德巴赫猜想是正确的，以及严密推导出适合于任意多面体（包括凸多面体、凹多面体、组合多面体、管状多面体，以及对应图为非平面图的非平面多面体）的欧拉公式。使猜测（或猜想）不再是猜想，而成为定理，使二百六十年前欧拉提出的凸多面体欧拉公式得以补充和完善。
我想，我所研究的这些个问题，就是我一生对科学事业，对人类社会的最大贡献，我没有什么可求，只求得我的研究能被全社会所认可，这就是我最大的幸福。
现在，我已退休十多年了，我的研究工作也完成了，我一身轻了，我可以好好睡上几个好觉了，我该要休息了。我得好好的玩了，该享受人生的应有的快乐了。
                                本书作者   雷  明
                           二○○八年二月二十三日于长安
                      二○一七年八月二十五日修改于金堆城小区

附    录

1、我的论文：集论法证明哥德巴赫猜想

集论法证明哥德巴赫猜想
雷 明
（ 一九九五年初稿，二○○九年五月五日修改搞 ）

摘  要：用集合论方法对自1742年提出至今已有两个半世纪之久的哥德巴赫猜想进行了证明。
关键词：哥德巴赫猜想  素数  奇素数  集合  可数集合

哥德巴赫猜想有两部分内容：第一部分是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，即“１＋１”；第二部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。这表面上看，似乎是只数论里的一个问题，实际上它也是集合论里的一个问题。以前人们不管是采用的什么办法，都是试图把一个很大的偶数写成两个素数的和，由于偶数是无穷无尽的（是一个无穷集合），始终不能得到“任意的”偶数都是两个素数的和的结论。本文就试用集合论的方法对哥德巴赫猜想进行证明如下。
本文中要用到的集合分别用以下的字母表示：自然数集合用Ｎ表示：Ｎ＝｛1，2，3，……｝；素数集合用Ｓ表示：Ｓ＝｛2，3，5，……｝；奇素数集合用Ｘ表示：Ｘ＝｛3，5，7，……｝；偶素数集合用Ｙ表示：Ｙ＝｛2｝。
1、几个关键性的可数集合——素数集合Ｓ与奇素数集合X
∵  Ｓ是无穷集合（欧几里德和欧拉早已证明素数有无穷多个），
又∵  Ｓ是可数集合——自然数集合Ｎ的子集合（可数集合也叫可列集、可数的无穷集等），
∴  素数集合S也是可数集合（定理：可数集合的任何无穷子集合是可数集合）。
又∵  S的子集合Ｙ＝｛2｝是有穷集合，
∴  S与Y的差集X＝S－Y，即奇素数集合Ｘ也一定是可数集合（定理：可数集合与它的有穷子集合的差集是可数集合）。
（本文中所用到的有关集合论的定理、定义、专业术语等均见肖鹏一著的《集合与逻辑代数》，1985年科学出版社）。
2、证明哥德巴赫猜想的关键
任何大于等于6的偶数是否都是两个奇素数的和是证明哥德巴赫猜想的关键。
猜想第一部分的正确提法是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。而任何偶数写成两素数之和时，要么是两个偶素数的和，要么是两个奇素数的和。偶数4只能写成唯一的偶素数2自身的和，而不可能写成两个奇素数的和（因为数值最小的奇素数是3，其自身的和是6，比4要大了，其它的奇素数自身的和比4就更大了）；而大于等于6的偶数，只能写成两个奇素数之和的形式（因为唯一的偶素数2自身的和是4，比6又要小了）。所以证明任何大于等于6的偶数是否都是两个奇素数的和，就成了证明哥德巴赫猜想的一个关键。
3、任意两个奇素数的和都是大于等于6的偶数
奇素数集合Ｘ可以表示成如下：
        Ｘ= { a1，a2，a3，……，an，…… } = {3，5，7，……，an，…… }
把Ｘ中的每一个元素ai都和别的所有元素相加一次，也包括它自身相加的一次在内，可得到可数个可数集合（分别用带下角的Ｑ表示）：
    集合1：  Q 1  = {a1+a1，a1+a2，a1+ a3，……，a1+an，…… }
                 = {3+3，3+5，3+7，……，3＋an，…… }
                 = {6，8，10，……，3＋an，……  }
    集合2：  Q 2  = {a2+a1，a2+a2，a2+ a3，……，a2＋an，…… }
                 = {5+3，5+5，5+7，……，5＋an，…… }
                 = {8，10，12，……，5＋an，……  }
                　……………………………………………
    集合n：  Q n = {an+a1，an+a2，an+a 3，……，an＋an，…… }
                 = {an+3，an+5，an+7，……，an＋an，…… }
                　……………………………………………
若这些集合的并集为A，则
        A = Q 1∪Q 2∪……∪Q n∪……
          = {6，8，10，12，……，an+3，an+5，an+7，……，an＋an，…… }
Ａ仍是可数集合（定理：有限个或可数个可数集合的并集仍是可数集合）。
又由于A里的元素都是由Ｘ里的两个奇数（奇素数）相加而来，所以A中的元素全都是偶数。
又因为Ｘ中数值最小的元素是3，而3＋3＝6，所以A 中数值最小的元素是偶数6，其它元素的数值都是大于6的偶数。
所以，A是一个其中所有元素都是大于等于6的偶数的可数集合。
4、任意两个奇素数的和包含了所有大于等于6的偶数
集合A的特点：
1、A是一个可数的无穷集合；
    2、A中有无穷多个元素；
3、A与自然数集合N等势，即A～N（根据可数集合的定义，可数集合均与自然数集合等势）；
4、A中所有的元素都是偶数，且大于等于6；
由于由所有大于等于6的偶数所构成的可数的无穷集合B也是与自然数集合N等势（B～N）的，根据集合的传递性，也有A等势与B，即A～B，即A与B有一一对应的关系。由于所有的可数集合的势都是相同的，都是α，所以A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多。可以肯定，A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合。
大于等于6的偶数与自然数一样，也是有无穷多个。A与B中的那无穷多个元素，也都分别是大于等于6的偶数，再加上集合中元素的不重复性（即不存在两个以上相同的元素），所以，A只有是包含了所有大于等于6的偶数时，才能使“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”。
B中的所有大于等于6的偶数有无穷多个，A中的大于等于6的偶数也有无穷多个，所以无论是A还是B，其元素（大于等于6的偶数）个数都应该是与自然数一样多的，它们的一一对应就是两集合中具有相等数值的偶数可以进行互相配对。
A与B是同一个集合的证明：
（1）采用A与B中的元素相互配对的证明（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有大于等于6的偶数。
（2）采用A中元素排队的办法证明（反证法）：
根据定理：集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X的元素按一定的法则f连续的编号为：
X＝｛x1，x2，……xn，……｝。
这就使集合X中的元素与自然数集合中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，与自然数集合建立一一对应的关系。如果上面得到的那个并集A是所有大于等于6的偶数集合，则这个法则就是
        f：    an＝f（n）＝4＋2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然至少会缺少某一个大于等于6的偶数。如果A中的元素在排队中，在第n项后缺少一个偶数an＋1（＝4＋2（n＋1）），这时，集合A与自然数集合的一一对应关系f将分成两个：即
    f1：    an＝f（n）＝4＋2n   （1≤n＜n＋1，n是自然数）
    f2：    an＝f（n）＝6＋2n   （n≥n＋1，n是自然数）
这时集合A也就分成了两个子集合A1和A2，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有大于等于6的偶数集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝4＋2n（n≥1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说A1和B就是同一个集合，那么A1也是一个可数集合，其中包括了所有大于等于6的偶数；因为A1是A的子集合，所以A中也就包括了所有大于等于6的偶数，A是所有大于等于6的偶数的集合（在这里A的子集合A1就是集合A的本身（任意集合都是它自身的子集合），而A的另一个子集合A2则是一个空集Φ（空集合是任意集合的子集合））。这与上面的假设“如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然至少会缺少某一个大于等于6的偶数”就产生了矛盾，应否定假设。到此也就证明了“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”，说明了B中的元素也一定都是属于A的，即A也包含B，也即B是A的子集合。
    因为前边有：A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合（已知）；
现在这里又有：B中的元素也一定都是属于A的，即A也包含了B，也即B是A的子集合；
因为两个集合相等或者是同一个集合的充要条件是：两个集合互为子集合，也即两个集合互相包含。所以就有集合A与集合B是同一个集合或者两个集合相等，即A＝B。两集合相等就说明两集合中的元素全部相同。到此，就证明了A中是包含了所有大于等6的偶数。到此也就证明了上面得到的并集A也是所有大于等于6的偶数的集合。
5、任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和
    上面已经证明了A＝B，或者说A和B是同一个集合。因为B是所有大于等于6的偶数的集合，而A中的元素都是两个奇素数的和，所以也就有任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和的结论。即
2n＝S1＋S2                                              （1）
（1）式中，n为自然数， n≥3，S为奇素数，S1，S2≥3。
这就证明了任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和。
6、证明哥德巴赫猜想的第一部分“１＋１”
哥德巴赫猜想第一部分是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。
∵  A（或B）是所有大于等于6的偶数的可数集合，4是有限集合｛4｝中的唯一元素
∴  ｛4｝∪A＝C就是所有大于等于4的偶数的集合（可数集合）（定理：一个有限集合与一个可数集合的并集仍是可数集合）。
又∵  A中的每个元素（偶数）都是两个奇素数的和，偶数4又是唯一的偶素数２自身相加的结果（2＋2＝4）
∴  任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的命题是成立，也即有
　 2n＝S1＋S2                                             （2）
（2）式中，n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2时，S1，S2≥2；S1≠S2时，S1，S2≥3。
到此，哥德巴赫猜想的第一部分“1＋1”就得到了证明是正确的。
7、证明哥德巴赫猜想的第二部分
哥德巴赫猜想第一部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
给公式（2）的两边同时加上一个大于等于3的素数（奇数）S3，得
2n＋S3＝S1＋S2＋S3                                      （3）
因为S3≥3，且是奇数，把（3）式左边的S3用2n－1（n≥2）表示得
4n－1＝S1＋S2＋S3                                      （3，）
（3，）式中，n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
∵  当n≥2时，（3，）式中的4n－1就是大于等于7的奇数
∴  任何大于等于7的奇数都是三个素数的和的命题也是成立的。
这就是哥德巴赫猜测想第二部分的内容——任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
当n≥2时，4n－1就是大于等于7的奇数的证明：
已知：S1＋S2≥4，S3≥3
两式相加得：S1＋S2＋S3≥3＋4≥7
        证毕。
按习惯表示法，把（3，）式中的4n－1改成2n－1（n≥4），则（3，）式就成为
    2n－1＝S1＋S2＋S3                                        （3，）
（3，）式中，n为自然数，n≥4，S为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
8、结论：哥德巴赫猜想是正确的
（1）任何大于等于4的偶数都是两个素数的和；
（2）任何大于等于7的奇数都是三个素数的和；
关于哥德巴赫猜想的另外一种提法，任何“大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”与任何“大于等于9的奇数都是三个奇素数的和”，前者已在5中证明了，后者可以给5中的公式（1）的两边分别加上一个大于等于3的奇素数，就可得到证明。
                                  雷      明
    （一九九五年初稿于金堆城，二○○九年五月五日第十五次修改于长安）

2、2006年银川“数学三会”
《论文摘要集》中所载我的参会论文
《集论法证明哥德巴赫猜想》的摘要

集论法证明哥德巴赫猜想
雷   明
陕西华县金堆城钼业公司
摘  要
用集合论方法证明了哥德巴赫猜想是正确的。所依据的理论全是集合论中已有的概念、定义、定理。
首先证明素数集合与奇素数集合都是与自然数集合等势的可数无穷集合。
在奇素数这个可数集合中，把任何一个元素都和其它元素相加一次，包括各元素自身相加的一次，可得到可数个可数集合，这些可数集合的并集仍是可数集合。
再下来就是本文的关键：证明上面的并集是大于等于6的所有偶数的集合。从而证得任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和是正确的。该证明虽关键，但却很简单。
4是唯一的偶素数自身相加的结果，有限集合｛4｝与上面的大于等于6的所有偶数集合的并集就是大于等于4的所有偶数的集合。从而也就证明了任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的结论是正确的。这就是哥德巴赫猜想的第一部分。
在第一部分的基础上很容易就可证明任何大于等于7的奇数都是三个素数的和也是正确的。这就是猜想的第二部分。
（雷  明  二○○六年六月十七日于长安）

3、2006年银川“数学三会”
的分组学术报告会上我宣读的
《集论法证明哥德巴赫猜想》论文的摘要

集论方法研究哥德巴赫猜想（摘要）

雷  明•高级工程师•处长
金堆城钼业集团有限公司（陕西华县金堆城）

把可数的奇素数集合S中的每一个元素都和别的元素相加一次，包括它自身相加的一次在内，可以得到可数个可数集合，这些可数集合的并集A仍是可数集合。A中的元素全都是大于等于6的偶数；可以看出A一定是包含于大于等于6的所有偶数的集合B的，A是B的子集合；由于A和B都是可数集合，所以A和B等势，且有一一对应的关系；采用反证法可以证明B也包含于A，即B也是A的子集合；A与B互为子集合，两集合相等，所以A和B是同一个集合；这就说明了任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和，因为A中的元素都是由S中的两个奇数素相加而来的。4又是唯一的偶素数2自身相加的结果，所以又有任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，即2n＝s1＋s2（n≥2）。给上式的两边分别加一个大于等于3的奇素数，公式左边就是大于等于7的奇数4n－1，右边则是s1＋s2＋s3，这就是猜想的第二部分：任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
（雷  明2006年8月5日于长安）


参 考 文 献

1、《十万个为什么》数学卷，少年儿童出版社，1980年版；
2、《21世纪中国少年儿童科技百科全书》第1卷，中国和平出版社，1998年版；
3、《数学欣赏》，[德]汉斯•拉德梅彻，奥•托普利茨著，左平译，北京出版社，北京印刷二厂印刷，1981年6月第一版，1986年6 月第1次印刷；
4、《集合与逻辑代数》，肖鹏一编著，科学出版社，中国科学院开封印刷厂印刷，1983年7月第一版，1985年3月第二次印刷；
5、《数学手册》，《数学手册》编写组，人民教育出版社，北京第二印刷厂印装，1979年5月第一版，1979年12月第一次印刷；
6、《帮你学集合》，张景中，中国少年儿童出版社，中国青年出版社印刷厂印刷，1984年9月北京第1版，1984年9月北京第1次印刷；
7、《“集合”就在你身边》，陈永明，上海教育出版社，上海崇明印刷厂印刷，1983年1月第1版，1983年1月第一次印刷。

注：此文已于二○一七年八月二十五日在《数学中国网》上发表过，网址是：

（完）

任在深

可惜呀！可惜？
            雷老师的又一次败笔！
            总的来说就是在没有明白“数”，“数字”，‘自然数’，“素数”，"素数单位"的情况下的失败！
而且不知道什么是纯粹数学即结构数学！
      纯粹数学：关于研究宇宙空间形的结构以及结构之间的关系的科学！
从整篇叙述看不出一点与宇宙结构有关系的论述和相关的结构关系（数学函数结构关系式！）。
           实在是太可惜了？！

雷明85639720

请你不要再来了，好不好。我对不对，我拿出了一整篇的东西，就是让大家评论的。而你就用这一两句话在“评论”吗。你把你的理论也写出来叫大家看一看吗。拿不出来就闪远点。

llz2008

A={1,3,5,---,2n+1,---)
B={1,4,9---,n^2,---}
按先生推理可得A=B, A能等于B吗？

雷明85639720

先生，请你好好的看看，我说的A={6，8，10，……，an+3，an+5，an+7，……，an＋an，…… }（其中an是奇素数），B={6，8，10，……，2n，……}，是大于等于6的所有偶数的集合，并不是你所说的A={1,3,5,---,2n+1,---)，B={1,4,9---,n^2,---}，你这两个集合都是些什么玩意儿呢。你的A是一个奇数的集合，与我的集合A相差太远了，你的B中，既有奇数，又有偶数，还有某自然数的平方，与我的集合B相差得比A还要远呢。这到底是个什么玩意儿呢，请你讲清楚点。

任在深

雷明85639720 发表于 2017-8-26 16:49
请你不要再来了，好不好。我对不对，我拿出了一整篇的东西，就是让大家评论的。而你就用这一两句话在“评论 ...

俺已经指出你的基本理论已经错了！
你只用自然数（它在纯粹数学中只能表示无大小的点，即空间形的位置！），那是什么猜想也不能得到证明的！
你真是狗咬吕洞宾不识好人心！！

雷明85639720

错在那里你能指出来吗。我错了，请你拿出你的正确的东西来吧。你要是不把你的理论整成正式论文，再这样东一榔头西一棒的，你就滚开。

任在深

雷明85639720 发表于 2017-8-27 11:10
错在那里你能指出来吗。我错了，请你拿出你的正确的东西来吧。你要是不把你的理论整成正式论文，再这样东一 ...

哈哈！
        俺给你一个图看一看：

雷明85639720

怎么画的，各是什么意思，你这里中间的Pn轴上全是自然数，0到2n的轴上全是偶数，0向左上方的斜轴全是0，那里有一个X/2的素数轴呢，那里来的素数呢。不要在这里胡扯了。收起你的一套吧。神经病。

雷明85639720

，，，，