设 x,y,z 为非负实数，x+2y+3z=1 ，求 2x^2y+12y^2z+9z^2x 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

2x^2y+12y^2z+9z^2x=x.2y.3z(x/3z+2y/x+3z/2y)≤（x+2y+3z）＾3/27（x/3z+2y/x+3z/2y）=3×1/27=1/9.（当x,y,z ∈R+时，x+2y+3z=1.当且仅当x=2y=3z=1/3时等号成立）
在这里，把条件x、y、z为非负实数变成x、y、z为正实数，就是这个结论了。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

luyuanhong

第 4 楼中我原来的解法，只考虑到区间内部的极值，没有考虑到区间边界上的极值，

所以答案不对。现在我已经在第 4 楼中作了修正，正确答案应该是 4/27 。

pgcci7339

陆老師您好，關於這題的Lagrange乘子法我有問題想問一下，

在二維的情況下，
一般我們用Lagrange乘子法所算出來的(x，y) 就是在邊界上的條件，因此可以斷定為極值發生之處
那在三維的情況(也就是這題)
g(x，y，z)=0是個曲面，用Lagrange乘子法所算出來的(x，y，z)卻不是極值點，而還要再額外檢查邊界條件。但Lagrange乘子法不是告訴我們利用這個算出來的(x，y，z)就是極值出現的地方了嗎？還是我觀念哪裡弄錯了，想請教一下老師，謝謝您。