【趣题征解】证明 7^10001 的十进制数的末尾 4 位数是 0007

luyuanhong · 发表于 2011-8-10 12:33

【趣题征解】证明 7^10001 的十进制数的末尾 4 位数是 0007 。

王成5 · 发表于 2011-8-10 18:07

drc2000 · 发表于 2011-8-10 18:31

先证7^100≡1(mod10000)
得:7^10000=(7^100)^100≡1(mod10000)
所以7^10001=(7^10000)*7≡7(mod10000),既末尾四位为0007
...

w632158 · 发表于 2011-8-10 20:24

此题可能有误，王成5的解法是正确的。后4位不可能是0007

luyuanhong · 发表于 2011-8-10 21:04

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/10 09:04pm 第 1 次编辑]

下面引用由w632158在 2011/08/10 08:24pm 发表的内容：
此题可能有误，王成5的解法是正确的。后4位不可能是0007

【趣题征解】证明 7^10001 的十进制数的末尾 4 位数是 0007 。

【证】 7^10000＝(7^4)^2500＝(2401)^2500＝(2400+1)^2500
＝2400^2500+2500×2400^2499+…+C(2500,2)×2400^2+2500×2400+1 。
展开式前面各项都是 10000 的倍数，只有最后一项是 1 ，可见
7^10000 的十进制数的末尾 4 位数是 0001 ，所以
7^10001=7^10000×7 的十进制数的末尾 4 位数是 0007 。

w632158 · 发表于 2011-8-10 21:17

哦，原来是这样，巧妙。

天山草 · 发表于 2011-8-11 17:04

这个问题可以改一改，以增加其难度：

“旅游者”就是“天山草”，俺换了个马甲玩玩。

天山草 · 发表于 2011-8-11 20:06

[这个贴子最后由天山草在 2011/08/11 08:13pm 第 1 次编辑]

luyuanhong · 发表于 2011-8-11 22:10

楼上天山草作出的推广和证明都很好！

任在深 · 发表于 2011-8-11 22:43

哇！
原来是美国大片呀！
007
0007
00007
000007
0000007.
好题！

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