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求解指数不定方程a^b+b^c=c^a的自然数解
关春河
（黑龙江省龙江县发达中学 161102）
摘要： 根据自然数的有序性，运用初等方法解决了指数不定方程a^b+b^c=c^a自然数解的求解问题。
关键词：自然数的有序性 左偏差 右偏差
在百度网站的数论帖吧，看到一位网友提出这样一个问题：“ 证a^b+b^c=c^a自然数解只有
（a,b,c）=(1,1,2)。”（http://tieba.baidu.com/f?kz=614757177）下面试给出这个问题的一种解答。
解 假设不定方程
a^b+b^c=c^a （1）
有自然数解（a,b,c）。那么，a,b,c∈N。N为自然数集合。
根据自然数的有序性[文1]，a,b,c的顺序关系一定为以下6种情形：
1 a≤b≤c , 2 a≤c≤b , 3 b≤a≤c , 4 b≤c≤a , 5 c≤a≤b , 6 c≤b≤a 。
为讨论方便，我们给出与方程（1）相关的定义：
定义 若把任一组正整数(a,b,c)代入方程（1），则把方程（1）左边的值记为z，右边的值记为y。当p=z-y>0时，称p为左偏差。当q=y-z>0时，称q为右偏差。
显然，若(a,b,c)是满足方程（1）的解，那么就必须满足p=q=0。
1 当a≤b≤c时，又一定为以下4种情形：1.1 a=b=c, 1.2 a=b0,而且p随着a的增大而增大。所以，在这种条件下,方程（1）没有解。
1.2 若a=bc^a，仿前面的方法可推知，方程（1）的p一定存在，而且p随着b的增大而增大。所以，在这种条件下,方程（1）没有解。
3 当b≤a≤c时，又一定为以下4种情形：3.1 a=b=c, 3.2 b=a2时，仿前面的方法可推知，除了(b,c)=(0,1)外，方程（1）的q一定存在，而且q随着a的增大而增大。所以，在这种条件下,方程（1）没有a≥2的解。
5 当c≤a≤b时，又一定为以下4种情形：5.1 c=a=b, 5.2 c=ac^a, 仿前面的方法可推知，方程（1）的p一定存在，而且p随着b的增大而增大。所以,在这种条件下,方程（1）没有解。
6 当c≤b≤a时，又一定为以下4种情形：6.1 c=b=a, 6.2 c=b0。
② 当a=3时，只能取b=1,2。均解得p>0。
③ 当a=4时，只能取b=1,2，3。均解得p>0。
④当a=5时，只能取b=1,2，3，4。此时，取b=1, 解得p>0。取b=2,3,4,则均解得q>0。
一般地，当a≥5时，只能取1≤b≤(a-1)。取b=1, 解得p>0。取2≤b≤(a-1)，则均解得q>0。而
且q随着a的增大而增大。所以,在这种条件下,方程（1）没有解。
6.4 若c0。
②当c=2时，
取b=3, 若取 4≤a≤9。均解得p>0。取a≥10时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=4, 若取5≤a≤16。均解得p>0。取a≥17时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=5, 若取6≤a≤22。均解得p>0。取a≥23时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=6, 若取7≤a≤29。均解得p>0。取a≥30时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=7, 若取8≤a≤36。均解得p>0。取a≥37时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=8, 若取9≤a≤43。均解得p>0。取a≥44时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
……
③当c=3时，
取b=4, 若取5≤a≤7。均解得p>0。取a≥8时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=5, 若取6≤a≤10。均解得p>0。取a≥11时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=6, 若取7≤a≤14。均解得p>0。取a≥15时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=7, 若取8≤a≤18。均解得p>0。取a≥19时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=8, 若取9≤a≤22。均解得p>0。取a≥23时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=9, 若取10≤a≤27。均解得p>0。取a≥28时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
……
④当c=4时，
取b=5, 若取6≤a≤7。均解得p>0。取a≥8时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=6, 若取7≤a≤9。均解得p>0。取a≥10时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=7, 若取8≤a≤12。均解得p>0。取a≥13时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=8, 若取9≤a≤16。均解得p>0。取a≥17时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=9, 若取10≤a≤20。均解得p>0。取a≥21时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=10, 若取11≤a≤22。均解得p>0。取a≥23时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
……
⑤当c=5时，
取b=6, 若取a=7。解得p>0。取a≥8时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=7, 若取8≤a≤10。均解得p>0。取a≥11时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=8, 若取9≤a≤12。均解得p>0。取a≥13时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=9, 若取10≤a≤15。均解得p>0。取a≥16时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=10, 若取11≤a≤17。均解得p>0。取a≥18时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
取b=11, 若取12≤a≤20。均解得p>0。取a≥21时，均解得q>0，而且q随着a的增大而增大。
……
当c≥8时, 均解得q>0。而且q随着c的增大而增大。
此时，由于对于任意的(a,b,c)，方程（1）均解得p>0或q>0。所以在这种条件下,方程（1）没有解。
综合以上所述，方程（1）的自然数解一共有3个，其中2个特解(a,b,c)=(0,1,n)和(a,b,c)=(n,0,1),
唯一1个正整数解是(a,b,c)=(1,1,2)。
参考文献：
[1] 华罗庚，《数论导引》[M]，科学出版社，1979。
[2] 胡作玄，《毕达哥拉斯到费尔马》[M]，河南科技出版社，1998。
[3] 关春河，《指数不等式(2m)^(2m+1) ≥(2m)^(2m+1)的最简证明》[N]，
http://blog.gmw.cn/home-space-uid-24525-do-blog-id-360111.html，2011-7-26 12:15
[4] 潘承洞，潘承彪，《初等数论》[M]，北京大学出版社，1992。
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发表于 2011-8-10 22:20
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