再请陆教授给解释一个逻辑问题

zhaolu48

[color=#00008B]
若f是A到B的“一一对应”，那么集合A与集合B的“基数”相等。
由此可知，A与B的“基数”相等是f为“一一对应”的必要条件。
因此当不知道A与B的“基数”是否相等时，则f是否为“一一对应”是不能确定的。
故不能用f是A到B的“一一对应”去证明A与B的“基数”相等。
我的上面的叙述错在哪里？请陆教授指正。

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2011/08/12 05:20pm 发表的内容：
若f是A到B的“一一对应”，那么集合A与集合B的“基数”相等。
由此可知，A与B的“基数”相等是f为“一一对应”的必要条件。
因此当不知道A与B的“基数”是否相等时，则f是否为“一一对应”是不能确定的。
故不能 ...

为什么你说：当不知道 A 与 B 的“基数”是否相等时，则 f 是否为“一一对应”是不能确定的？
这是什么逻辑？你凭什么推出这一结论？我实在不明白。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2011/08/12 08:08pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/08/12 07:05pm 发表的内容：
为什么你说：当不知道 A 与 B 的“基数”是否相等时，则 f 是否为“一一对应”是不能确定的？
这是什么逻辑？你凭什么推出这一结论？我实在不明白。

[color=#00008B]
比如说：N是自然数集，A是正偶数集，用现下的观点是：
设f：n→2n  n∈N,2n∈A，
实数论说，f是N到A的“一一对应”，从而推出N与A“基数”相等。
因此N与A“基数”相等是“f是N到A的‘一一对应’的必要条件”。
这就是说，只有N与A“基数”相等，才可能有“f是N到A的‘一一对应’”。
从而用“f是N到A的‘一一对应’”去证明“N与A‘基数’相等”是循环论证，即是一种循环逻辑错误。
我认为f不可能是N到A的“一一对应”。
因为如果是一一对应，那么n取值可大到“全体自然数”个数的程度，那么这时2n要大到什么程度呢？
比如把夏道行等著的《实变函数论与泛函分析》举的例子变换一下：
设有全体自然数那么多位子，并且依次编号为1,2,3,4,5,6,……，
一、先把偶数2,4,6,……先依次放到编号为2,4,6,…的位子上，编号为奇数的位子空着。即有奇数那么多空位。
二、再把偶数2,4,6,…向前移动，对应移到1,2,3,…的位子上，把空位串到后面去，空位的个数不会减少，即在后面有“奇数那么多位子空着，无偶数可放”，因此自然数集到正偶数集根本就不存在“一一对应”。
这回说的明白吗？

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2011/08/12 05:20pm 发表的内容：
若f是A到B的“一一对应”，那么集合A与集合B的“基数”相等。
由此可知，A与B的“基数”相等是f为“一一对应”的必要条件。

集合，映射是较基数更基本的概念。用集合，映射来定义基数：
一一对应是集合间的等价关系～。在给定的论域中这个等价关系确定的等价类叫作基数（二集合基数相等即它们属于同一个等价类。这样的定义的思想是把一切数学对象都归结为集合）。
定义确定了被定义概念的鉴别准则。所以二集合间存在一一对应是它们基数相等的充要条件。

下面引用由zhaolu48在 2011/08/12 05:20pm 发表的内容：
因此当不知道A与B的“基数”是否相等时，则f是否为“一一对应”是不能确定的。
故不能用f是A到B的“一一对应”去证明A与B的“基数”相等。

从基数的定义知道，虽然[不知道A与B的“基数”是否相等]等价于[不知道是否存在A,B之间的一一对应]，但鉴别A，B基数相等的准则还是[A,B之间的一一对应存在与否]。不是不能用[存在A,B之间的一一对应]来证明[A与B的“基数”相等]，而是需要用[存在A,B之间的一一对应]来证明[A与B的“基数”相等]。
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下面这段话逻辑结构上跟主贴平行，肯定是错的，看看错在哪里：
如果三角形有两条边长度相等，那么该三角形是等腰三角形。由此可知三角形等腰是其有二边长度相等的必要条件。由此当不知道三角形是否等腰时，它是否有两边长度相等是不能确定的。故不能用三角形有两条边相等去证明三角形等腰。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/13 10:26am 第 8 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2011/08/12 08:05pm 发表的内容：
比如说：N是自然数集，A是正偶数集，用现下的观点是：
设f：n→2n  n∈N,2n∈A，
实数论说，f是N到A的“一一对应”，从而推出N与A“基数”相等。
因此N与A“基数”相等是“f是N到A的‘一一对应’的必要条件”。
...

    在集合论中，关于两个集合的基数是否相等，定义如下：

    设 A,B 是两个集合，如果存在一个 A 到 B 上的一一对应，则称  A 与 B 是对等的（等势的），
也就是说，A 与 B 的基数（势）是相等的。
    注意：在这个定义中，说的是“存在一个”一一对应。也就是说，我们可以举出九十九个例子，
在这些例子中，A 与 B 都不是一一对应的，但是，如果可以举出一个例子，在这个例子中，A 与 B
是一一对应的，那么，就应该认为 A 与 B 的基数是相等的。
    例如，要判断全体正整数集合 N={1,2,3,…} 和全体正偶数集合 E={2,4,6,…} 的基数是否相等。
    如果我们用下列方法来作对应：
Ｎ   １   ２   ３   ４   ５   ６   ７   ８　……  2n   2n+1   ……
          ↑ 　     ↑        ↑        ↑        ↑      
          ↓        ↓        ↓        ↓        ↓
Ｅ　　　　２ 　　　　４　　　　６　　　　８　……　2n   ……
    显然，在 N={1,2,3,…} 中的奇数，在 E={2,4,6,…} 中都找不到对应元素，所以，按照这种
对应方法，N={1,2,3,…} 与 E={2,4,6,…} 中的元素不是一一对应的。
    但是，我们可以找到另一种对应方法：
Ｎ   １   ２   ３   ４   ５   ６   ７   ８　……  n   ……
　　 ↑   ↑   ↑　 ↑   ↑   ↑   ↑   ↑　      ↑      
　 　↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓        ↓
Ｅ　 ２ 　４ 　６ 　８　 10   12   14   16  ……　2n   ……
    在这种对应方法中，N={1,2,3,…} 与 E={2,4,6,…} 中的元素可以一一对应。
    按照定义，只要“存在一个”一一对应，就可以认为两个集合的基数相等，现在既然存在一个
可以使得 N={1,2,3,…} 与 E={2,4,6,…} 一一对应的例子，尽管还有其他许许多多使得两个集合
不一一对应的例子，但是，我们还是应该认为，这两个集合的基数是相等的。

elimqiu

不能因为存在A到B的真子集的一一映射就说A与B不对等。
除非证明不存在A到B的一一对应，才能说A与B不对等。

ygq的马甲

阿列夫基数，应该是一种【层次】运算
不同的【层次】，那么其任何的一个【子】项，都应该不同的