求方程 (x+5)^(1/3)=2-√(x+29) 的实数解

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

好石

设(x+5)^(1/3)=y，则有x=y^3-5,将原方程化为三次方程解之并讨论

王守恩

解法1。
方程两边立方   x+5=(2-√(x+29))^3
化简得
√(x+29)^3-5(x+29)+12√(x+29)-32=0   (1)
设√(x+29)=k
           (1)=k^3-5k^2+12k-32
               =k^3-4k^2-k^2+4k+8k-32
               =k^2(k-4)-k(k-4)+8(k-4)
               =(k-4)(k^2-k+8)
由k-4=0    k=4
即  √(x+29)=4    解得x=-13

解法2。
方程两边平方   (√(x+29))^2=(2-(x+5)^(1/3))^2
化简得
(x+5)-((x+5)^2)^(1/3)+4(x+5)^(1/3)+20=0   (1)
设(x+5)^(1/3)=k
           (1)=k^3-k^2+4k+20
               =k^3+2k^2-3k^2-6k+10k+20
               =k^2(k+2)-3k(k+2)+10(k+2)
               =(k+2)(k^2-3k+10)
由k+2=0    k=-2
即  (x+5)^(1/3)=-2    解得x=-13

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。