[原创]泛指、特指与康托的错误

zhaolu48

[watermark]　　　　　　　　　　　　泛指、特指与康托的错误 　　　　　　　　　　　　 山东枣庄二中　赵　禄 　　在至少有两个元素的集合A中出现表示元素的字母x，泛指是说x可以是A中的任何元素，对于a,b∈A，x=a也可以x=b；而特指是说x是A中的某一确定的元素，当x=a时，就不允许x=b，只不过我们不知道是x=a，还是x=b，或者x等于A中的其它什么元素。但x什么时候是特指，什么时候是泛指，只能具体问题具体分析。尤其是有时出现更多不同的字母，如何区分这些字母具有的意义，每个字母有时具有泛指的意义，有时具有特指的意义，作为使用集合A的人，必须要把它们中的哪一个具有泛指的意义，哪一个具有特指的意义，必须区分清楚，不然就会使推理不清晰，多数时候已经犯了逻辑错误都不知道。真正做到这一点往往是很困难的，因为很多时候都包含着较复杂的逻辑关系。事物总是有它的规律的。下面就通过一些具体的实例来找出如何作具体分析的规律。 　　设A={关于x的代数式}，B={2x-1,x^2+2x-2,(x+3)/(2x-1),ax+b}，显然有B包含于A。如果用含"|"的描述法表示A，B，则 　　A={f(x)|f(x)是代数式｝， 　　B={f(x)|f(x)=2x-1,x^2+2x-2,(x+3)/(2x-1),ax+b} 在这里x只是一个符号，只是对某个具体的元素(代数式)才有自变量的意义。如f(x)=2x-1,说明B中的元素f(x)是关于x的一次函数，对于这个函数来说，f是实数集R到R双射。而f在这里是泛指，即f(x)可以是A中或B中的任何一个代数式。 　　{x|x是关于x的代数式}的表示方法是错误的，因为关于x的代数式，是指x是每个代数式里的"变量"，是特指，而前面的x表示的是每个代数式的整体，即集合的元素x是代数式，是泛指集合中的任何元素。而A={y|y是关于x的代数式}。 　　由此可知，特指字母与泛指字母不能相同。特指字母相当于常量，泛指字母相当于变量。 　　{x|x=f(x)，f(x)是关于x的代数式}是集合的正确表示方法，但它已经不是集合A，设其为C，则C表示的是方程x=f(x)的解集，这里x是泛指，即x可代表这个解集中的任意一个解，而f(x)是特指，即f(x)是惟一一个具体的代数式，比如C={x|x=f1(x)}与D={x|x=f2(x)}(f1(x),f2(x)都是代数式)，字母D是不能用字母C代替的，即使x=f1(x)与x=f2(x)是同解方程，也是解完方程后，知道C=D，但对于C={x|x=f1(x)}与D={x|x=f2(x)}，并不是针对解方程后的情况，因此不能表示为C={x|x=f1(x)}={x|x=f2(x)}。单独的等式{x|x=f1(x)}={x|x=f2(x)}是可以的，但它表示的已经不是集合C了，而表示的是方程x=f1(x)与方程x=f2(x)的公共解，即两个方程组成的方程组的解，即表示的是F={x| x=f1(x)}，并且　x=f2(x)}。 　　{x=f(x)|f(x)是代数式}也是集合的正确表示方法，但这个集合是以方程为元素的集合，并且这个方程都能化为x=f(x)的形式。任何一个方程f(x)=0等价于x=f(x)+x，因为f(x)是代数式，f(x)+x也是代数式，即f(x)+x也在f(x)的指代范围内，也说明在这时f(x)是泛指，x=f(x)也是所规定的方程的泛指。 　　B也可表示为B={f(x)|f(x)=2x-1或f(x)=x^2+2x-2,或f(x)=(x+3)/(2x-1),或f(x)=ax+b}。A，B最简单的表示方法还是已知所给出的方法。 　　以上这些看上去好象是常识性的东西，可是在遇到具体问题时，很多人都会出现这方面的错误，并且对类似的错误他们还经常觉察不到，而把本来是错误的表示方法还当作正确的表示方法对待。如果在证明中出现类似的错误，那么证明的结果可信度也就很小了，如果觉察不到证明中出现的类似错误，那么这个证明就是错误的证明。 下面粘贴的插图式的文字叙述是对"Cantor无最大基数定理"的一个证明。 　　对任意集合A，用|A|表示|A|的基数，P(A)表示A的幂集 　　对任意集合A，有|A|<|P(A)|(即A的基数小于它的幂集的基数)。这个结论称为Cantor无最大基数定理。 　　下面是对"Cantor无最大基数定理"的一个证明。 　　“证　因为|A|≤|P(A)|，所以只需证|A|<|P(A)就行了。以下用反证法证明|A|≠|P(A)|。 　　假设|A|=|P(A)|，取A到P(A)的双射f，令 　　　　B={x|x∈A且x不属于f(x)} 　　则B∈P(A)，再令a=g(B)(g为f的逆映射)，则a∈A且f(a)=B。 　　任给x∈A，由B的定义得 　　　　x∈B当且仅当x不属于f(x) 所以对于a∈A就有 　　　　a∈B当且仅当a不属于f(a) 即 　　　　a∈B当且仅当a不属于B 矛盾。■” 　　其中B={x|x∈A且x不属于f(x)}，前三个x是泛指B中的任意元素，而f(x)中的x是特指，指的是P(A)中的元素f(x)在A中的原象。在同一关系式里特指字母与泛指字母不能相同，因此B应该表示为 　　B={y|y∈A且y不属于f(x)}　　　　　　(1) 由原证明中集合B表示的应该是A中不属于f(x)的所有元素，而并不是要求B中的元素还要是f(x)的原象x。即使是要求B中的元素同时也必须是f(x)在A中的原象，也应表示为 　　B={y|y∈A且y不属于f(x)且y=x}　　　(2) 对于A到P(A)的双射f来说，f(x)中的x是泛指A中的任何元素，但对于B来说，f(x)已经不是泛指P(A)中的任意元素了，而是P(A)中的某一固定元素了。因为对于(1)来说，在f是双射的假设下，x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，那么也有 　　　{y|y∈A且y不属于f(x1)}≠{y|y∈A且y不属于f(x2)} (3) 若B={y|y∈A且y不属于f(x1)}且B={y|y∈A且y不属于f(x2)}，就有 　　　{y|y∈A且y不属于f(x1)}={y|y∈A且y不属于f(x2)}，与(3)矛盾。 由(1)知，B≠f(x)，再由f(a)=B知，f(a)≠f(x)，从而 　　　{y|y∈A且y不属于f(x)}≠{y|y∈A且y不属于f(a)} 即B≠{y|y∈A且y不属于f(a)} 　　所以对于a∈A 　　　　a∈B，当且仅当a不属于f(x)， 　　而不是 　　　　a∈B，当且仅当a不属于f(a)， a不属于f(x)仍是a∈B。 因此没有原证明中的 a∈B，当且仅当a不属于B的矛盾。 [/watermark]

ygqkarl

[U]zhaolu48（赵禄、楼主）[/U] 是这个“数学中国”论坛的一道“风景”，很可惜这样的“浪费”时间，已经这样的年纪了，……
文章开头提到“逻辑错误”，应该是一个遵守“逻辑”的人。能否先解释一下：你的所谓“逻辑”是怎样的？？？谢谢。

珠穆亚纳

下面引用由zhaolu48在 2006/04/21 04:00pm 发表的内容：
(水印部分不能引用)

    虽然有一些笔误，但是不会掩饰深刻的分析和思维。
    "Cantor无最大基数定理"的概念，本质错误来源于在“无限体系”用“大”“小”来思考。
    [color=&#35;00008B] :em21: 当"Cantor无最大基数定理"在无穷范畴，定义了一个“基数”概念，并认为“基数”可以比较“大小”，这就已经彻底的走上了思维误区的“不归之路”，继续进行的所谓推理，自然是“无本之木”，“无源之水”，是不可能得出正确结论的。      

ygqkarl

中国文化的道家逻辑是混合型的 R(·,·)=“∈”∪“&Iuml;”∪“Φ” ，对应“一分为二”方法的三种状态，见下图：

文章开头提到“逻辑错误”，[U]zhaolu48（赵禄、楼主）[/U]  应该是一个遵守“逻辑”的人。是否能够找到“逻辑”上的共同语言？？？再来判断是否应该继续交流。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/04/22 09:46am 第 1 次编辑]

我对康托的证明的理解也有误，但这也是由于康托对集合
　　B={x|x∈A且x不属于f(x)}
表述不确切、不清晰有关。
具体请看我新发的帖子
《你对康托证明的理解是正确的(对小叶发来的E-mail的回函)》

zhaolu48

ygqkarl先生：
“zhaolu48（赵禄、楼主）  应该是一个遵守‘逻辑’的人。”
应该“遵守‘逻辑’”，但并不能保证不犯逻辑错误。
也许在关键的地方已经犯了逻辑错误而“不自觉”。
这就需要真正的朋友见到我的“不自觉”的逻辑错误给予指出、赐教。本人不胜感激。

ygqkarl

[U]zhaolu48（赵禄、第5楼）[/U] 提到的文章的“链接”，点击这里打开。实际上，仍然是“逻辑”上如何定义“有限”、“无限”等
[U]zhaolu48（赵禄、第6楼）[/U] 别只说“客套话”了。我关心的是：找到“逻辑”上的共同语言，请你先解释一下：你所谓的“逻辑”概念。

白洞先生

公说婆理。

ygqkarl

（链接）信华--"连续统假设的终结者"的终结者
“数学中国”和“东陆论坛”的很多人，很可惜这样的“浪费”时间，原因是“逻辑”上有问题。能否从“逻辑”上先找到共同的语言？？？

珠穆亚纳

下面引用由ygqkarl在 2006/04/22 00:10pm 发表的内容：
（链接）信华--"连续统假设的终结者"的终结者
“数学中国”和“东陆论坛”的很多人，很可惜这样的“浪费”时间，原因是“逻辑”上有问题。能否从“逻辑”上先找到共同的语言？？？

不要总是自认为高明，以此居高临下的态度发言，最好认真的阐述自己关于“逻辑”的高见。不过，你始终不能用你的所谓“逻辑”解释清楚以下连接中113楼我的问题，你的“逻辑”令人怀疑。