正弦函数和余弦函数的无穷乘积表达式

luyuanhong

luyuanhong

qingjiao

陆教授辛苦了，非常感谢！证明很精彩！
但2楼的公式和最后一步是否有笔误？应该是没有sin这个东西出现的？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/22 11:07am 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2011/08/22 10:52am 发表的内容：
陆教授辛苦了，非常感谢！证明很精彩！
但2楼的公式和最后一步是否有笔误？应该是没有sin这个东西出现的？

公式 3 没有错，你用 x=0 代入公式 3，就可以看到公式 3 中必须有 sin ，否则左右不会相等。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/08/22 05:44pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/08/22 11:06am 发表的内容：
公式 3 没有错，你用 x=0 代入公式 3，就可以看到公式 3 中必须有 sin ，否则左右不会相等。

陆教授说得对。但这就是说，对于一般简谐振动，仅用零点表示的乘积与原函数的振幅差了sinωθ倍？

w632158

这一步没有明白是怎么得到了，好像里面应该有余弦在里里面。

qingjiao

qingjiao

下面引用由w632158在 2011/08/22 07:44pm 发表的内容：
这一步没有明白是怎么得到了，好像里面应该有余弦在里里面。

楼上是陆教授以前的帖子。
既然(sinx)^n可以表达为sinkx的若干线性组合，那么反过来，sinnx也可以表达为(sinx)^k的若干线性组合。如果列一个方程组，这个方程组是肯定有解的。
陆教授，是这个道理吗？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/08/22 10:26pm 发表的内容：
楼上是陆教授以前的帖子。
既然(sinx)^n可以表达为sinkx的若干线性组合，那么反过来，sinnx也可以表达为(sinx)^k的若干线性组合。如果列一个方程组，这个方程组是肯定有解的。
陆教授，是这个道理吗？

下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子。
从帖子中的公式可以看出：
cos(nθ) 可以表示为 cosθ 的多项式，当 n 是偶数时，多项式中 cosθ 的幂次都是偶数，
因为 (cosθ)^2=1-(sinθ)^2 ，所以可以化成全部是 sinθ 的多项式。
sin(nθ) 可以表示为 cosθ 的多项式再乘以一个 sinθ，当 n 是奇数时，多项式中 cosθ
的幂次都是偶数，因为 (cosθ)^2=1-(sinθ)^2 ，所以可以化成全部是 sinθ 的多项式。