和drc2000网友浅探一元二次方程条件根的问题

中国上海市

我发了个帖子，探讨一元二次方程有条件区间内有解的问题，统一的方法应该是drc2000 网友所说的数形结合的方法，其它的方法，诸如Δ法、韦达定理等都只适用部分题目，通用的方法应该是数形结合的方法。在此，对该问题作一初步的小结，不知是否正确 一元二次方程ax^2+bx+c=0在区间（m,n）或(p,q)内有解，事实上，我们可以把这个方程问题化解为图形问题，即抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点必须在（m,n）或(p,q)内，然后根据图形列出由指定条件值组成的不等式，即再由图形转化为解析式，看不等式能否保证起到固定抛物线的作用，如行，则解不等式，如不行，则再加其它条件，其它条件亦就两样，一样是对称轴，一样是顶点（亦即判别式Δ） 条件值不等式是必须考虑的，而Δ和对称轴则在有些条件下要考虑，有些条件下可不考虑；我们来看看哪些情况可以不考虑这两样东西； 1、由给定值得出的不等式如果是全大于0的，则须考虑Δ，反之，如果由给定值得出的不等式出现了小于0的，则可以不考虑Δ；因为可以很容易地证明，只要有任一给定的值k符合f(k)<0，那么Δ就一定大于0； 举例：若欲使方程ax^2+bx+c=0的两根均大于m，则给定值得出的不等式是f(m)>0，此时须考虑Δ >0的条件，否则就不正确；若欲使方程ax^2+bx+c=0一根均大于m而小于n，则给定值得出的不等式是f(m)f(n)<0，此时则不必考虑Δ >0的条件，加不加此一条件结果均一样； 2、通过上面的工作，我们已经确保了抛物线与x轴有交点，并且根据条件画好的抛物线，列出了不等式，由于已经确保了抛物线与x轴有交点，所有顶点的纵坐标保证了小于0，亦即Δ >0的条件，所以抛物线的上下方向已经固定下来了，但在左右方向还是不是可以自由移动，却是未知数，如果说左右方向也已经定下来固定了，那题目就解成了，但如果说左右方向还可以自由移动，没有将抛物线在左右方向固定下来，则需要再进一步考虑对称轴，因为对称轴是左右方向的指标 举例：若欲使方程ax^2+bx+c=0的两根均大于m，在如前所述f(m)>0、Δ >0的条件下，抛物线是否固定了呢？没有，为什么？因为将抛物线与x轴的交点全部通通移到m点的左边（上下方向已经固定不移动了），那么也符合上述f(m)>0、Δ >0的条件，可是此时方程的两个根却是都小于m而不是都大于m，与题意不符合甚至是相反了，此时，必须考虑对称轴的问题，即再加上对称轴在m的右侧，即-b/2a>m；若欲使方程ax^2+bx+c=0的一根均大于m而另一根小于m，则给定值不等式是f(m)<0，如上所述，不需要Δ >0的条件，而此时，只要是能够保证f(m)<0的条件，也不需要对称轴，因为此时抛物线的左右也固定了，即左右两交点一定在m的两侧，所以不需要考虑对称轴了 以上所小结的，我认为是统一的方法，三步：①条件不等式；②视①的条件不等式，如果全大于0，则加上Δ >0的条件，反之，如有一个或一个以上的小于0的条件不等式，则此步省略；③在上述两步的前提下，看抛物线左右是否固定，如不固定，则再加上对称轴的问题，则再加上和对称轴有关的不等式，如左右已固定，则此步省略；然后解这些不等式组最后得出结论，不知drc2000网友是否认同？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/08/22 05:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由中国上海市在 2011/08/22 04:05pm 发表的内容： 我发了个帖子，探讨一元二次方程有条件区间内有解的问题，统一的方法应该是drc2000网友所说的数形结合的方法，其它的方法，诸如Δ法、韦达定理等都只适用部分题目，通用的方法应该是数形结合的方法。在此，对该问题作一初步的小结，不知是否正确 一元二次方程ax^2+bx+c=0在区间（m,n）或(p,q)内有解，事实上，我们可以把这个方程问题化解为图形问题，即抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点必须在（m,n）或(p,q)内，然后根据图形列出由指定条件值组成的不等式，即再由图形转化为解析式，看不等式能否保证起到固定抛物线的作用，如行，则解不等式，如不行，则再加其它条件，其它条件亦就两样，一样是对称轴，一样是顶点（亦即判别式Δ） 条件值不等式是必须考虑的，而Δ和对称轴则在有些条件下要考虑，有些条件下可不考虑；我们来看看哪些情况可以不考虑这两样东西； 1、由给定值得出的不等式如果是全大于0的，则须考虑Δ，反之，如果由给定值得出的不等式出现了小于0的，则可以不考虑Δ；因为可以很容易地证明，只要有任一给定的值k符合f(k)<0，那么Δ就一定大于0； 举例：若欲使方程ax^2+bx+c=0的两根均大于m，则给定值得出的不等式是f(m)>0，此时须考虑Δ >0的条件，否则就不正确；若欲使方程ax^2+bx+c=0一根均大于m而小于n，则给定值得出的不等式是f(m)f(n)<0，此时则不必考虑Δ >0的条件，加不加此一条件结果均一样； 2、通过上面的工作，我们已经确保了抛物线与x轴有交点，并且根据条件画好的抛物线，列出了不等式，由于已经确保了抛物线与x轴有交点，所有顶点的纵坐标保证了小于0，亦即Δ >0的条件，所以抛物线的上下方向已经固定下来了，但在左右方向还是不是可以自由移动，却是未知数，如果说左右方向也已经定下来固定了，那题目就解成了，但如果说左右方向还可以自由移动，没有将抛物线在左右方向固定下来，则需要再进一步考虑对称轴，因为对称轴是左右方向的指标 举例：若欲使方程ax^2+bx+c=0的两根均大于m，在如前所述f(m)>0、Δ >0的条件下，抛物线是否固定了呢？没有，为什么？因为将抛物线与x轴的交点全部通通移到m点的左边（上下方向已经固定不移动了），那么也符合上述f(m)>0、Δ >0的条件，可是此时方程的两个根却是都小于m而不是都大于m，与题意不符合甚至是相反了，此时，必须考虑对称轴的问题，即再加上对称轴在m的右侧，即-b/2a>m；若欲使方程ax^2+bx+c=0的一根均大于m而另一根小于m，则给定值不等式是f(m)<0，如上所述，不需要Δ >0的条件，而此时，只要是能够保证f(m)<0的条件，也不需要对称轴，因为此时抛物线的左右也固定了，即左右两交点一定在m的两侧，所以不需要考虑对称轴了 以上所小结的，我认为是统一的方法，三步： ①条件不等式； ②视①的条件不等式，如果全大于0，则加上Δ >0的条件，反之，如有一个或一个以上的小于0的条件不等式，则此步省略； ③在上述两步的前提下，看抛物线左右是否固定，如不固定，则再加上对称轴的问题，则再加上和对称轴有关的不等式，如左右已固定，则此步省略；然后解这些不等式组最后得出结论，不知drc2000网友是否认同？

一大堆字,看不太清楚,我稍微编辑了一下.这下好了... 我该称呼你为上海市"老师"了... 可我不明白同一个主题,为什么又开新帖呢?

drc2000

你说了那么多,说的不错!
通法是函数,方程,不等式,图象等结合,统筹考虑
当然方法有很多,巧法未必通用,通法未必简洁....
归纳起来就几个字:"具体问题具体分析",
你出了11道题目问题,实际上还可以出以下题目:
1.ax^2+bx+c=0,最多只有1根大于0...
2......最少......

中国上海市

要不，你弄几个具体的题目，可以用数形结合的方法试试？

drc2000

下面引用由中国上海市在 2011/08/22 10:35pm 发表的内容：
要不，你弄几个具体的题目，可以用数形结合的方法试试？

详细情况见老帖子.